1. Hallar el volumen generado en la rotación del área plana dada alrededor del eje indic

$$Y=2x^2$$

Y=0; X=0; X=5 , eje de las X

b)

$$Y=4x^2$$

Y=16; Y=16; X=0. Eje de las Y

El siguiente es el enunciado:

Hallar el volumen generado en la rotación del área plana dada alrededor del eje
Indicado. Aplicando el método del disco

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Has montado un pequeño lío. Lo que necesito es la función, los límites de la función y el eje de giro.

La función está bien definida y los ejes parecen ser el X en la primera y el Y en la segunda. Peor los límites de la función no los tengo claros, simplemente tienes que decir

entre x=a y x=b

o

entre y=a e y=b

Has puesto tres números, e incluso aún quitando uno queda mal definido el segundo ejercicio.

$$\begin{align}&Y=2x^2;Y=0;X=0;X=5\\ &\\ &eje de las X\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&y=4x^2; Y=16; X=0\\ &\\ &eje de las Y\end{align}$$

No están bien definidas

a) Creo que quieres decir entre x=0 y x=5

b) Creo que quieres decir entre y = 0 e y=16

Tienes que que dar dos puntos en el mismo eje que indican donde empieza y acaba el trozo de función que va a engendrar el volumen. O si lo prefieres dos puntos, cada uno tendría sus dos coordenadas, pero lo que haces es poner tres números que no se sabe cual casa con cuál. Lo que esté fuera de ese intervalo no generará volumen.

La fórmula para el volumen generado es:

Alrededor del eje X

$$A=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx$$

Alrededor del eje Y

Sin tenemos la función como función de y, por ejemplo x=g(y)

$$A=\pi \int_a^bg(y)dy$$

Si tenemos y= f(x) debemos calcular x=f^-1(y)

$$A=\pi \int_a^b[f^{-1}(y)]^2dy$$

Si el giro es alrededor de otros ejes hay que hacer cambios de variables, ecuaciones de giros, etc. Cosa que de momento no te piden.

a)

$$\begin{align}&A=\pi \int_0^5(2x^2)^2dx = \pi\int_0^54x^4dx=\\ &\\ &\pi \left [ \frac{4}{5}x^5\right ]_0^5 = \pi \frac{4·5^5}{5}= \pi·4·5^4=4·625 \pi=2500 \pi\end{align}$$

b) Debemos poner la función como función de y

y=4x^2

x^2=y/4

x=sqrt(y/4) = sqrt(y)/2

Recuerdo que sqrt es la raíz cuadrada por si no lo conocías. Y los límites que tenemos ya están expresados en función de la variable y, luego:

$$\begin{align}&A=\pi \int_0^{16} \left ( \frac{\sqrt y}{2} \right)^2 dy = \pi \int_0^{16}\frac{y}{4}dy=\\ &\pi \left [ \frac{y^2}{2}\right ]_0^{16}=\pi \frac{16^2}{2}=128 \pi \end{align}$$

Y eso es todo.

Perdón, en la fórmula del área alrededor del eje Y con la función ya despejada en función Y puse

$$\begin{align}&A= \pi \int_a^b g(y)dy\\ &\\ &\\ &\text {lo correcto es}\\ &\\ &\\ &A= \pi \int_a^b [g(y)]^2 dy\end{align}$$

Y aprovecho para recordar algo por si no lo tienes claro. Cuando gira alrededor del eje X, los valores a y b son los valores de la x donde empieza y acaba la función. Cuando gira alrededor del eje Y los valores a y b son los de la y en los puntos donde empieza y acaba la función.

Por ejemplo si los puntos limite son de la función y=f(x) son (1,2)(3,4)

girando alrededor de X es Pi por integral entre 1 y 3 de [f(x)]^2 dx

Mientras que si gira alrededor de Y será pi por la integral entre 2 y 4 de [f^-1(y)]^2dy

En esta segunda se podría llamar x a la variable porque una integral no depende del nombre que pongamos a la variable, pero lo dejo con y para que se entienda mejor.

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