Pregunta sobre integrales definidas

Cuando una integral es un producto cos^n(x)·sen^m(x) y uno de ellos n o m es impar se hace el cambio t = la función con exponente par y el la de exponente impar se sustituyen las potencias pares por potencias de (1-otra al cuadrado). Si uno de los exponentes es 0 y el otro impar sirve lo mismo

$$\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi}sen^3xdx=\\ &\\ &\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos^2x)senxdx=\\ &\\ &t=cosx\quad dt=-senxdx\\ &x=-\pi\implies t=-1\\ &x=\pi \implies t=-1\end{align}$$

Un momento, no me di cuanta al principio, solo ahora al cambiar los límites de integración para adecuarlos al cambio.

El ángulo -pi es el mismo que pi luego la integral es en un intervalo de longitud cero y por lo tanto es cero.

MIra a ver si está bien el enunciado. Y si está bien la integral es cero.

Y eso es todo.

Hola el enunciado es sen al cubo de 2x entre -pi y pi. Al resolverlo has puesto x aunque igual eso no cambia.

Sólo una cosa, la integral se podría separar en dos, una de -pi a cero y otra de cero a pi? y como de -pi a cero es negativa le ponemos negativo delante y se sumaría y daría como resultado 1? pregunto, no se, es que como conceptualmente la integral definida es el cálculo del área y me han dicho que el área no puede dar cero, por eso pregunto.

Muchas gracias.

Si, se me olvidó poner el 2x pero el método es el mismo.

No hay que confundir la integral con el área de las curvas. La integral es una herramienta que sirve para calcular el área pero no siempre de manera inmediata. No todas las integrales son para calcular áreas, tienen mil aplicaciones más. Cuando la función es siempre positiva coincide el área y la integral. Pero cuando hay partes positivas y otras negativas se debe calcular la integral por trozos y sumar después los valores absolutos que hayan salido.

Entonces la pregunta que te hago es. ¿El ejercicio es un ejercicio de calcular área o de calcular la integral definida?

De todas maneras voy a hacerlo de las dos formas. Primero vamos a ver en que tramos es positiva y en cuáles negativa

 x      | sen^3(2x)
-------------------
-pi     |    0
-3pi/4  |    1
-pi/2   |    0
-pi/4   |   -1
   0    |    0
 pi/4   |    1
 pi/2   |    0
3pi/4   |   -1
 pi     |    0

Los tramos son

[-pi, -pi/2] positiva

[-pi/2, 0] negativa

[0, pi/2] positiva

[pi/2, pi] negativa

Calculamos la primitiva y luego calculamos la integral definida y el área.

$$\begin{align}&\int sen^3(2x)dx=\\ &\\ &\int (1-\cos^2(2x))sen(2x)xdx=\\ &\\ &t=\cos(2x)\quad dt=-2sen(2x)dx\\ &\\ &=\int (1-t^2)\frac{-dt}{2}=\frac 12\int(t^2-1)dt=\\ &\\ &\frac{t^3}{6}-\frac t2= \frac{\cos^3(2x)}{6}-\frac{\cos(2x)}{2}\end{align}$$

Calculamos en valor de la integral definida en esos intervalos

En [-pi, -pi/2]

cos^3(-pi)/6 -cos(-pi)/2 -cos^3(-2pi)/6+cos(-2pi)/2 =

-1/6 + 1/2 - 1/6 + 1/2 = 1-1/3 = 2/3

En [-pi/2,0]

cos^3(0)/6 - cos(0)/2 - cos^3(-pi)/6 + cos(-pi)/2

1/6 - 1/2 + 1/6 -1/2 = 1/3 - 1 = -2/3

En [0, pi/2]

cos^3(pi)/6 - cos(pi)/2 - cos^3(0)/6 + cos(0)/2 =

-1/6 +1/2 - 1/6 + 1/2 = 1 - 1/3 = 2/3

En [pi/2, pi]

cos^3(2pi)/6 - cos(2pi)/2 - cos^3(pi)/6 + cos(pi)/2 =

1/6 - 1/2 +1/6 -1/2 = 1/3 -1 = -2/3

Para la integral definida entre -pi y pi no era necesario dividir en intervalo en cuatro partes, hubiera bastado con hacer la evaluación en [-pi, pi]

Integral definida = cos^3(2pi)/6 - cos(2pi)/2 - cos^3(-2pi) + cos(-2pi) =

1/6 - 1/2 - 1/6 +1/2 = 0

que es lo mismo que se obtiene sumando los valores de los cuatro intervalos

Integral definida = 2/3 - 2/3 + 2/3 - 2/3 = 0

Mientras que el área limitada por la curva entre -pi y pi y el eje X es la suma de los valores absolutos

Área = |2/3| + |-2/3| + |2/3| + |-2/3| = 4(2/3) = 8/3

Y finalmente te resuelvo la integral definida como realmente debe calcularse, sin necesidad de hacer la indefinida aparte

$$\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi} sen^3(2x)dx=\\ &\\ &\int_{-\pi}^{\pi} (1-\cos^2(2x))sen(2x)xdx=\\ &\\ &t=\cos(2x)\quad dt=-2sen(2x)dx\\ &\\ &x=-\pi\implies t=\cos(-2\pi)=1\\ &x=\pi\implies t=\cos(2\pi)=1\\ &\\ &=\int_1^1 (1-t^2)\frac{-dt}{2}=0\end{align}$$

No es necesario hacer nada más con el método ortodoxo, la integral entre el mismo punto de una función es cero.

Y eso es todo.