Razón de cambio y tangente de una curva derivar lo siguiente

Y la ecuación de la recta normal también es conveniente recordarla.

$$y= yo -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$$

En este caso no nos dicen el punto pero nos dicen que la normal es paralela a una recta.

Sabemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o la opuesta. O dicho de otra forma, cuando el valor absoluto de la pendiente es el mismo.

Vamos a calcular la pendiente de esta recta, para ello la pondremos en la forma

y=mx+b

6x+3y-4=0

3y = -6x + 4

y = -2x + 4/3

Luego nos sirve que la normal tenga pendiente -2 o 2

Y la pendiente de la recta normal es

-1 /f '(xo)

Vamos a calcular xo

$$\begin{align}&\left|-\frac{1}{f'(x_0)}\right|=2\\ &\\ &\\ &\left|-\frac {1}{\frac{1}{2 \sqrt{x_0-3}}}  \right|=2\\ &\\ &\\ &2 \sqrt{x_0-3}=2\\ &\\ &\sqrt{x_0-3}=2\\ &\\ &x_0-3 = 4\\ &\\ &x_0=7\\ &\\ &\text{Ahora calculamos }y_0\\ &\\ &y_0=\sqrt {7-3}=2\\ &\\ &\text{Luego el punto es }(7,2)\\ &\end{align}$$

Ya habíamos visto que |-1/f '(xo)| = 2 pero ahora necesitamos el valor de

-1/f '(xo)

que es -2 puesto que f '(xo) = 1/sqrt(xo-3) es positivo

Y si no se quiere andar con estos razonamientos se vuelve a calcular por completo y solucionado

-1/f '(xo) = -1 / [1/sqrt(xo-3)] = - sqrt(xo-3) = - sqrt(7-3) = .sqrt(4) = -2

Y con todo esto la ecuación de la normal es

y = 2 - 2(x-7)

y = 2 - 2x +14

y = -2x + 16

Y eso es todo.

Disculpa experto, como quedaría la Gráfica. Gracias.

Por hacer la gráfica me he dado cuenta que había un fallo en las cuentas.

$$\begin{align}&\left|-\frac{1}{f'(x_0)}\right|=2\\ &\\ &\\ &\left|-\frac {1}{\frac{1}{2 \sqrt{x_0-3}}}  \right|=2\\ &\\ &\\ &2 \sqrt{x_0-3}=2\\ &\\ &\\ &\sqrt{x_0-3}=2\\ &\\ &\text {Eso estaba mal, es}\\ &\\ &\sqrt{x_0-3}=1\\ &\\ &\\ &x_0-3 = 1\\ &\\ &\\ &x_0=4\\ &\\ &\\ &\text{Ahora calculamos }y_0\\ &\\ &y_0=\sqrt {4-3}=1\\ &\\ &\\ &\text{Luego el punto es }(4,1)\end{align}$$

Esta línea también estaba mal

-1/f '(xo) = -1 / (1/[2·sqrt(xo-3)]) = - 2·sqrt(xo-3) = - 2·sqrt(4-3) = -2q·sqrt(1) = -2

y=1-2(x-4)

y=1-2x+8

y= -2x+9

Y la gráfica es

Y eso es todo.

Disculpa experto, me confundí un poco con este problema, la solución seria asi?.

Y también me surgió la duda de la gráfica la linea negra es: y=x/2-1 como la calculaste?

Saludos y de antemano mil gracias