Resolución de integral

Tiene solución real pero no es de las sencillas de calcular.

Esa sustitución que es hecho no es válida fíjate que el seno tiene valores entre -1 y 1, luego el seno cuadrado toma valores entre 0 y 1. Y de acuerdo con tu cambio:

sen^2(y) = 1+t^2

El seno cuadrado toma valores entre 1 e infinito. Luego es un cambio no válido.

No obstante has llegado a algo muy parecido a la respuesta. Simplemente quita los números imaginarios y tendrás la solución real.

Integral = (1/2)[t(1+t^2)^(1/2) - arcos t] + C

Tienes buen nivel de integración para haber hecho lo que has hecho. No obstante yo no intentaría resolverla a menos que te lo hayan pedido y estés estudiando ese tipo concreto de integrales porque es bastante o muy difícil.

Para hacerla puedes usar cualquiera de estos tres cambios.

a) (1+t^2)^(1/2) = t+y

b) (1+t^2)^(1/2) = ty + 1

c) t = tg y seguido de tg(y/2)=z

Pero te va a costar hacerlo, la verdad. Si solo querías la respuesta ya la tienes arriba.

Buenos días, valeroasm.

Es probable que esté cometiendo un error, pero al derivar la integral que propones no obtengo la expresión inicial, ¿te importaría revisarlo?,

Empleando la tercera sustitución que propones he obtenido

1/2*(t*(1+t^2)^(1/2)-Ln((1+t^2)^1/2+t))

Aunque tampoco estoy convencido de este resultado.

Gracias de antemano.

La comprobé, voy a hacerlo de nuevo.

$$\begin{align}&f(t)=\frac 12(t \sqrt{1+t^2} - arcos t) + C\\ &\\ &f´(t)= \frac 12\left( \sqrt{1+t^2}+t \frac{2t}{2 \sqrt{1+t^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)=\\ &\\ &\frac 12\left(  \frac{2(1+t^2)+2t^2+2}{2 \sqrt{1+t^2}}\right)=\\ &\\ &\frac 12 \left(\frac{4t^2+4}{2 \sqrt{1+t^2}}  \right)=\\ &\\ &\frac{t^2+1}{\sqrt{1+t^2}}= \sqrt{1+t^2}\end{align}$$

Luego está bien la que había dicho. Respecto de la que has hecho tu ahora no tengo tiempo para mirarla. Pero no tiene porque estar mal. A veces las integrales dan resultados que parecen muy distintos según el método usado, pero que en realidad únicamente difieren en una constante aunque no lo parezca.

Espera a que pueda volver a ponerme con el ordenador.

Al calcular f'(t) empleas

d(arccos(t))=-1/(1+t^2)^(1/2)

pero creo que en realidad es

d(arccos(t))=-1/(1-t^2)^(1/2)

en principio:

cos(arccos(t))=t

-sen(arccos(t)) * d(arccos(t)) = dt

d(arccos(t)) = -dt / sen(arccos(t)) = -dt / (1-cos^2(arccos(t)))^(1/2)

d(arccos(t)) = -dt / (1-t^2)^(1/2)

¡Ay perdona! Mientras comía no podía dejar de pensar en el fallo que había cometido. Todo ha sido una confusión entre el coseno normal y el hiperbólico. Dame tiempo que lo replanteo todo y espero dar la respuesta correcta.

Si en la derivación que hice dejo la primera parte de la función igual y encuentro la auténtica función cuya derivada es 1/sqrt(1+t^2) saldrá bien. Luego la integral verdadera es:

Integral = (1/2)[t(1+t^2)^(1/2) + argsh t] + C

Donde argsh t es el argumento del seno hipérbolico de t, lo que los ingleses denotarían por asinh(t).

Y ahora ya me pondré a ver si tu integral estaba bien, lo cual es muy probable porque el argsh es en realidad cierto logaritmo neperiano.

La integración se hace con este cambio

$$\begin{align}&Integral=\int \sqrt{1+t^2}dt \\ &\\ &1+t^2 = ch^2y \implies t=\sqrt{ch^2y-1}=sh\;y\\ &\\ &2tdt = 2ch\,y·sh\,y\,dy\\ &\\ &2sh\,y\,dt=2ch\,y·sh\,y\,dy\\ &\\ &dt=ch\,y\\ &\\ &Integral=\int ch^2y\,dy=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}  \right)^2dy=\\ &\\ &\\ &\frac 14\int (e^{2x}+e^{-2x}+2) dy=\\ &\\ &\\ &\frac 14\left(\frac{e^{2y}-e^{-2y}}{2}+2y  \right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right) \left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)+ \frac y2 +C=\\ &\\ &\frac 12 chy·shy+\frac y2 + C=\\ &\\ &\\ &\text {Del cambio se deducía  y=argsh t=argch}\sqrt{1+t^2}\\ &\\ &=\frac {t·\sqrt{1+t^2}}{2}+\frac{argsh \,t}{2}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y esa es la integral resuelta con lasa funciones hiperbólicas que es mucho más sencillo que sin usarlas.

Finalmente boy a comprobar tu respuesta. Esta mal simplemente porque le falla el signo que lleva delante el logaritmo neperiano, la respuesta esta.

1/2*(t*(1+t^2)^(1/2)+Ln((1+t^2)^1/2+t))

Todas las equivalencias de las funciones hiperbólicas las puedes encontrar aquí

Funciones hiperbólicas

Y creo que ahora ya está todo, tienes la integral expresada tanto en funciones hiperbólicas como en normales. Tienes la integración con cambio hiperbólico y con cambios trigonométricos que es lo que hiciste tú a falta de corregir ese pequeño error con el signo.