Problemas de aplicación de la derivada (variaciones relacionadas)... AYUDA POR FAVOR!
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m^3 de petroleo.
Calcula con que rapidez aumenta el Radio de la mancha cuando ese radio es 50m si el espesor disminuye a razón de 10 cm/hora en el instante en que R=50m
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Adjunto link con la imagen del problema sale representada la mancha por si les sirve:
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1 Respuesta
El radio de la mancha es una función del tiempo y nos pueden hallar la variación de radio con el tiempo. Eso es la derivada del radio respecto del tiempo
v(t) = dR / dt
Por la regla de la cadena, si tomamos el espesor como variable intermedia, llamémosla E, podemos escribir:
$$v(t) = \frac{dR}{dt}= \frac{dR}{dE}·\frac{dE}{dt}$$La derivada dle espesor respecto del tiempo ya nos la dan, es
dE/dt = -10 cm/h = -0.01 m/h
Nos falta calcular la derivada del radio respecto del espesor. Para ello tomemos la fórmula del volumen de de la mancha
$$\begin{align}&V = E\pi R^2 =100\\ &\\ &R =\frac{10}{\sqrt{\pi E}}\\ &\\ &\\ &\frac{dR}{dE}=\frac{-10 \frac{\pi}{2 \sqrt{\pi E}}}{\pi E}=-\frac{5}{E \sqrt{\pi E}}\\ &\\ &\\ &\text{luego tendremos}\\ &\\ &\frac{dR}{dt}= - \frac{5}{E \sqrt{\pi E}}·(-0.01)=\frac{0.05}{E \sqrt{\pi E}}\\ &\\ &\\ &\left.\frac{dR}{dt}\right|_{R=50}=\left.\frac{0.05}{E \sqrt{\pi E}}\right|_{R=50}\\ &\\ &\\ &\text{calculemos el espesor cuando R=50}\\ &100=E\pi·R^2 \implies \\ &100=E\pi2500\implies\\ &E=\frac{1}{25\pi}\\ &\\ &luego\\ &\\ &\left.\frac{dR}{dt}\right|_{R=50} =\frac{0.05}{\frac{1}{25\pi}\sqrt{\pi·\frac{1}{25\pi}}}=\frac{0.05}{\frac{1}{125\pi}}=\\ &\\ &\\ &\\ &0.05·125\pi=6.25\pi\approx 19.634954 \;m/h\end{align}$$Y eso es todo.
Amigo experto tengo una duda ya que tengo 2 respuestas mas, que dan distintos resultados me podría aclarar cual es la correcta. se lo agradecería ....
Respuesta 1)
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Respuesta 2)
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Tres formas de hacerlo y las tres ligeramente distintas, La que mejor está y más rápidamente sale es la primera, a ver si aprendo a hacer así los siguientes problemas.
Y además es la que está bien. Tanto yo como el de la segunda respuesta hemos cometido el error de pensar que en el metro hay 1000 cm (ya veo que no soy el único) y de ahí viene la diferencia. Luego responde con la primera o si prefieres la mía sería así.
El radio de la mancha es una función del tiempo y nos piden (el "pueden" de antes lo puso el incorrector ortográfico de la página) hallar la variación de radio con el tiempo. Eso es la derivada del radio respecto del tiempo
v(t) = dR / dt
Por la regla de la cadena, si tomamos el espesor como variable intermedia, llamémosla E, podemos escribir:
$$v(t) = \frac{dR}{dt}= \frac{dR}{dE}·\frac{dE}{dt}$$La derivada dle espesor respecto del tiempo ya nos la dan, es
dE/dt = -10 cm/h = -0.1 m/h (Aquí es donde he corregido el error)
Nos falta calcular la derivada del radio respecto del espesor. Para ello tomemos la fórmula del volumen de de la mancha
$$\begin{align}&V = E\pi R^2 =100\\ &\\ &R =\frac{10}{\sqrt{\pi E}}\\ &\\ &\\ &\frac{dR}{dE}=\frac{-10 \frac{\pi}{2 \sqrt{\pi E}}}{\pi E}=-\frac{5}{E \sqrt{\pi E}}\\ &\\ &\\ &\text{luego tendremos}\\ &\\ &\frac{dR}{dt}= - \frac{5}{E \sqrt{\pi E}}·(-0.1)=\frac{0.5}{E \sqrt{\pi E}}\\ &\\ &\\ &\left.\frac{dR}{dt}\right|_{R=50}=\left.\frac{0.5}{E \sqrt{\pi E}}\right|_{R=50}\\ &\\ &\\ &\text{calculemos el espesor cuando R=50}\\ &100=E\pi·R^2 \implies \\ &100=E\pi2500\implies\\ &E=\frac{1}{25\pi}\\ &\\ &luego\\ &\\ &\left.\frac{dR}{dt}\right|_{R=50} =\frac{0.5}{\frac{1}{25\pi}\sqrt{\pi·\frac{1}{25\pi}}}=\frac{0.5}{\frac{1}{125\pi}}=\\ &\\ &\\ &\\ &0.5·125\pi=62.5\pi\approx 196.34954 \;m/h\end{align}$$Pero como te decía, es más fácil de la forma primera que me has dado. Aunque muchas veces en esto hay que hacer el ejercicio tal como te haya enseñado el profesor.
