Calcular el límite

Tienes que recordar el producto notable que dice

(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)

Pero tienes que aplicarlo suponiendo que a sea la raíz de x y b sea la raíz de xo, de esta forma factorizas el denominador y queda así:

$$\begin{align}&x-x_0 = (\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x - \sqrt{x_0})\\ &\\ &\text{Y el límite queda}\\ &\\ &\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{(\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x - \sqrt{x_0})}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to x_0}\frac{1}{(\sqrt x + \sqrt{x_0})}=\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}\\ &\\ &\\ &\text{A lo mejor te piden racionalizar el denominador,}\\ &\text{entonces será:}\\ &\\ &\\ &=\frac{\sqrt{x_0}}{2 \sqrt{x_0} \sqrt{x_0}}= \frac{\sqrt{x_0}}{2x_0}\end{align}$$

Y eso es todo.