Estadística matemática con aplicaciones 5.131

5.131)

a) Dos variables aleatorias son independientes si y solo si la función de densidad conjunta es el producto de las funciones de densidad marginales.

Hagamos por tanto el producto de las funciones de densidad individuales y veamos si lo que queda es una función de densidad bivariante con ro=0

$$\begin{align}&\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac 12\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2} · \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac 12\left(\frac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{1}{\sigma² 2 \pi}e^{-\frac 12 \left[ \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2 + \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2\right]}\\ &\end{align}$$

Y esto coincide exactamente con la definición de la normal bivariante si hacemos ro=0 y sigma1=sigma2, luego Y1 e Y2 tienen una distribución normal bivariante con ro=0

b)

El apartado b del ejercicio 5.130 dice dos cosas. Primero que si las distribuciones Y1, Y2, ..., Yn tienen una distribución normal bivariante, entonces dos combinaciones lineales de ellas U1 y U2 tienen distribución normal bivariante. Luego ya está resuelta lo primero que piden.

Y la segunda cosa que dice el ejercicio 5.130 es que si además U1 y u2 son ortogonales entonces entonces son independientes, basta con ver entonces que U1 y U2 son ortogonales.

Para ello el sumatorio de los productos de coeficientes componente a componente (producto escalar para aclararnos) debe ser cero

U1 = Y1 + Y2

U2 = Y1 - Y2

y el producto escalar es

1·1 - 1·1 = 0

Luego son independientes.

Y eso es todo.