Sea B2 = a0 I + a1 A + a2A^2 y demuestra que µ2 = a0 + a1c + a2c^2 es un eigenvalor de B2

Veo que ahora les da por no usar la terminología castellana de toda la vida. Flaco favor nos hacen los traductores o los que siendo hispanos adoptan el vocabulario anglo-germano al escribir sus libros.

Por definición. La matriz A tiene un valor propio c y su vector propio correspondiente x, si se cumple:

Ax=cx

Veamos que con la matriz A^2

Multiplicamos a izquierda

A(Ax) = A(cx)

El escalar c puede cambiar de posición como quiera

(AA)x = c(Ax)

(A^2)x = c(cx)

(A^2)x = (c^2)x

Luego la matriz A^2 tiene los mismos vectores propios y los valores propios correspondientes son el cuadrado de los de la matriz A

Ahora veamos que pasa al multiplicar por un escalar una matriz cualquiera

Mx = cx

a(Mx) = a(cx)

(aM)x = (ac)x

El vector propio se mantiene y el valor propio correspondiente se multiplica por el escalar.

Y con la matriz identidad se cumple

Ix = 1·x

Tiene cualquier valor propio y su valor propio es 1

La matriz a0·I tendrá valor propio a0 y cualquier vector le es propio.

Finalmente veamos que pasa con la suma de dos matrices que tienen el mismo vector propio.

Mx = cx

Nx = dx

Mx + Nx = cx + dx

Por la propiedad distributiva

(M+N)x =(c+d)x

La suma hace matrices con el mismo vector propio hace que se mantenga ese vector propio y el valor propio correspondiente es la suma de los valores propios correspondientes de las dos matrices.

Pues después de toda esta preparación ya está hecho prácticamente.

Sea c un valor propio de A y x su vector propio correspondiente

A2·A^2 tiene el vector propio x y el correspondiente valor propio es a2·c^2

A1·A tiene el vector propio x y el valor propio correspondiente a1·c

A0·i tiene el vector propio x y el valor propio correspondiente es a0

Al tener las tres el mismo vector propio podemos usar lo que decíamos de la suma y esta tiene el vector propio x como uno de los suyos y el valor propio correspondiente es

La suma de los valores propios:

a2·c^2 + a1·c + a0

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. NO olvides puntuar o pedir aclaraciones.