Operaciones con espacios vectoriales
. Determina cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial con las operaciones indicadas.
a) El conjunto de sucesiones de números reales acotadas, con la suma de sucesiones y el producto de un número real por una sucesión.
SA={{an} c R|{an} es acotada}
b) Conjunto de polinomios en una variable x de grado igual a 5; con la suma de polinomios y el producto de un número real por un polinomio.
P=5={P(x)=a5 x elevada a la quinta + a4 x elevada a la cuarta + ...+ a1 x + ao|ai constante en R, para todo i = 1,...,n}
1 Respuesta
a)
Aquí supongo que se parte de el conjunto de todas las sucesiones con esas operaciones suma y producto por un número real son un espacio vectorial. Y si no, no cuesta mucho demostrar que cumple todas las condiciones para serlo.
Entonces debemos usar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales para comprobarlo.
i) Primero vemos que no es un conjunto vacío. La sucesión nula esta acotada luego pertenece al de momento conjunto de las sucesiones acotadas
Ii) Según los libros esta segunda condición incluye la suma y el producto, o bien solo la suma y hay otra que incluye el producto. Me conformo con solo la suma
Si an esta acotada superiormente por A y bn por B, la sucesión an+bn está acotada por A+B luego an+bn pertenece al subconjunto de las acotadas
Iii) Y si an está acotada por A, la sucesión k·an está acotada por k·A, luego pertenece al subconjunto.
Y cumplidas estas condiciones el subconjunto pasa a ser subespacio vectorial y por tanto es un espacio vectorial.
b) No es un subespacio vectorial ya que no tiene el vector nulo, el vector nulo tiene grado 0.
Y eso es todo.
