Determinar los excedentes del consumidor y del productor dadas funciones de oferta y demanda

La función de la demanda de un producto es:

$$P=\sqrt{49-6x}$$

y la función de la oferta: p=x+1.

Muchas gracias por las atenciones y el tiempo de dedicación en la resolución a este problema, saludos. Graciher.

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5.856.350 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Ya te expuse la teoría en el problema anterior, esta vez diré solo lo imprescindible.

Primero pondré la letra q en lugar de la x, así puedes usarla de la misma manera que esa vez.

d(q) = sqrt(49-6q)

f(q) = q+1

Ahora calculamos el punto de equilibrio (po, qo)

sqrt(49-6q) = q+1

Elevamos al cuadrado en ambos lados

49-6q = q^2 + 2q +1

q^2 + 8q - 48 = 0

resolvemos la ecuación de segundo grado

q = [-8 +- sqrt(64+192)] / 2 =

[-8 +- sqrt(256)] / 2 =

(-8 +- 16) / 2 = -12 y 4

La respuesta negativa no sirve para nuestro problema, luego qo = 4

y calculamos po en la ecuación de la oferta po = 4+1 = 5

Luego el punto de equilibrio (po,qo) es (4,5)

Se comprueba que cumple la ecuación de la demanda

sqrt(49-6·4) = sqrt(25) = 5

y la de la oferta

4+1 = 5

Y ahora vamos con los excedentes, primero vuelvo a poner las fórmulas y después haré las integrales. Siempre escribo lo mismo, son dos fórmulas equivalentes se puede usar la que más guste.

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\\ &\text {que son equivalentes a estas: }\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}d(q)dq -p_0q_0\end{align}$$

$$\begin{align}&ec = \int_0^4 \sqrt{49-6q}·dq-4·5 =\\ &\\ &\\ &-\frac{2}{3}\frac{1}{6} \left [ (49-6q)^{3/2} \right ]_0^4-20=\\ &\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2})-20 =\\ &\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2}) -20=\\ &\\ &\\ &\frac{218}{9}-20=4.222...\end{align}$$

La integral es un poco liosa pero no llega a la categoría como para hacer un cambio de variable ya que es prácticamente inmediata. Acuérdate que la raíz cuadrada de algo es ese algo elevado a la 1/2, de ahí que la integral tenga exponente 1/2 + 1 = 3/2 y la consiguiente constante 2/3 para contrarrestar el factor 3/2 de la derivada.

$$Undefined$$

Luego el excedente del consumidor es 4.22... um y el del productor es 8 um

Y eso es todo.

Muchísimas gracias nuevamente Valeroasm me sacaste de un gran lío, gracias por darme un espacio de tu tiempo para esta asesoría, excelente explicación, gracias, recibe un afectuoso saludo.

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