Ecuaciones de orden superior (me puedes ayudar con este ejercicios por favor estoy en problemas

¡Uff!

Las ecuaciones diferenciales son ejercicios de suficiente entidad, solo contesto uno en cada pregunta. Si quieres el segundo lo mandas en otra pregunta tas puntuar esta.

Espera, mejor haré primero el segundo para ir entrenando que voy a tener que tirar de apuntes. Bueno, recuerdo como se hacen pero quiero estar seguro.

Resolveré:

y'' + 3y' - 4y = 6

Que por cierto, puede ser incluso más complicada por no ser homogénea.

Primero resuelvo la ecuación homogénea

y'' + 3y' - 4y = 0

la ecuación característica es

k^2 + 3k - 4 = 0

Se comprueba que las raíces son 1 y - 4 ya que su producto debe ser -4 y su suma -3

Estamos en el caso en que son dos raíces reales distintas.

Entonces la solución de la homogénea es esta combinación lineal

y = C1·e^x + C2·e^(-4x)

Y la solución general de la ecuación completa es la solución general de la homogénea más una solución particular de la completa.

Hay algunos métodos para hallar esa solución particular. Uno de ellos dice:

Si la función de la derecha de la ecuación completa es un polinomio de la forma

P(x)e^(ax)

Donde a no es raíz de la ecuación característica, hay que probar una solución particular de la forma

Z = Q(x)·e^(ax) donde Q(x) tiene el mismo grado que P(x)

En nuestro caso el miembro derecho es

6 = 6·e^(0·x)

luego hay que probar con una solución

z = k·e^(0x) = k

donde k es una contante

En este caso es tan sencillo que no hace falta tanto proceso, pero vamos a hacerlo igual que si fuera un polinomio de cualquier grado para que veas cómo se hace. Sustituiremos esta solución particular en la ecuación completa para calcular k

z'' + 3z'' - 4z = 6

k'' + 3k' - 4k = 6

la derivada de una constante es 0

0 + 3·0 - 4k = 6

-4k = 6

k = -6/4 = - 3/2

z = -3/2

Luego la solución general es la general de la homogénea más la partícular

y = C1·e^x + C2·e^(-4x) - 3/2

Y eso es todo.