Ayuda con esta demostración
demuestra que la estructura binaria ? R,+> con la operación usual de adición es isomorfa a la estructura que ? R^+,·> donde · es la multiplicación usual.
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demuestra que la estructura binaria ?R,+> con la operación usual de adición es isomorfa a la estructura que ?R+,·> donde · es la multiplicación usual. (R+ me refiero a reales positivos) espero que sea mas entendible y me puedas ayudar.. gracias.
demuestra que la estructura binaria(R,+) con la operación usual de adición es isomorfa a la estructura que (R+,·) donde · es la multiplicación usual. (R+ me refiero a reales positivos) espero que sea mas entendible y me puedas ayudar.. gracias
Si, ahora si. Pero es que la primera vez habías puesto R^+ y eso no me sonaba de nada.
El mundo ese donde la multiplicaciones se hacen como sumas es el de los números exponenciales
(e^x)·(e^y) = e^(x+y)
He puesto e como podría haber puesto 2, 10, etc
Supongamos que el isomorfismo es este
f : (R,+) ------> (R+, ·)
f(x) = e^x
Veamos que es una aplicación biyectiva
Es inyectiva porque si
(e^x) - 1 = (e^y) - 1
e^x = e^y
ln(e^x) = ln(e^y)
x = y
Y es suprayectiva porque dado en número y del conjunto imagen hacemos
x = ln y
eso es posible porque al ser y>0 existe el logaritmo Neperiano
entonces
e^x = e^[ln y] =
e^x = y
Luego hemos encontrado un x tal que f(x)=y
Como es inyectiva y suprayectiva es biyectiva
Y queda por ver que es un morfismo. Para ello hay que demostrar que
f(x+y) = f(x)·f(y)
Por la definición que hemos dado
f(x+y) = e^(x+y) = (e^x)(e^y) = f(x)·f(y)
Luego es un morfismo biyectivo, un isomorfismo.
Y eso es todo.
