1 respuesta
La prueba por inducción tiene dos partes.
i) Probar que se cumple para n=1
ii) Demostrar que si se cumple para n se cumple para n+1
i) Para n=1
ln(2) / 2 = 0.34657359
ln(1) / 1 = 0
Pues no se cumple. Voy a ver cuanto vale para 3
ln(3)/3 =0.366204
ln(1000)/1000 = 0.006907755
Creo que lo que se cumple (aunque aun no lo he demostrado) es justamente lo contrario del enunciado. Mira a ver si está bien y lo transcribiste bien
Bueno hay que demostrar si A(sub n) = ln(n) / n es decreciente.
Esto implica que A( sub n) es mayor que A(sub n + 1)
Ln(n) / n es mayor que ln(n+1) / (n+1)
Realicé la prueba y esta proposición es válida a partir de 3.
*ln(3+1) / 3+1= 0,35
ln(3) / 3= 0,37
*ln(4+1)/ 4+1=0,32
ln(4) / 4= 0,35
Me imagino que al ser una A(sub n) de una sumatoria la proposición es correcta a partir de tres, y esto seria una cola de la sucesión y si la cola decrece entonces la sucesión decrece...
Es asi o esta incorrecto lo que deduje????
Es que el enunciado no está muy bien. Sería demostrar que An es decreciente a partir de cierto n, ese n pueden dárnoslo o no, pero no decir que es decreciente a secas porque no lo es, al principio es creciente.
Aunque no es lo que nos piden vamos a hacer una cosa
$$\begin{align}&f(x) = \frac{lnx}{x}\\ &\\ &f '(x) = \frac{\frac 1x·x-lnx}{x^2}=\frac{1-lnx}{x^2}=0\\ &\\ &1-lnx=0\\ &\\ &lnx= 1\\ &\\ &x=e\\ &\\ &\end{align}$$Y si x>e esa derivada es negativa luego la función es decreciente a partir del número e. Luego la sucesión es decreciente a partir del 3.
El criterio de la derivada no sirve para saber si entre 2 y 3 crece o decrece la sucesión aunque calculando
(ln2)/2 = 0.34657359
(ln3)/3 =0.366204
es creciente.
Luego la sucesión crece hasta el elemento n=3 y decrece después
Y ahora lo hacemos como nos dicen por inducción pero a partir del 3, lo que que hay que demostrar es que
(ln n) / n > [ln(n+1)] / (n+1)
Para n= 3
(ln 3) / 3 = 0.366204
(ln 4) / 4 = 0.3465736
se cumple
Ahora supongamos que se cumple para n > 3
(ln n) / n > [ln(n+1)] / (n+1)
y hay que demostrar que
[ln(n+1)] / (n+1) > [ln(n+2)] / (n+2)
NO ME SALE de ninguna forma.
Podrías decirme el libro, a lo mejor puede encontrarlo y allí sale algo especial que se pueda usar para resolver este ejercicio. Muchas veces poder solucionar un problema depende del contexto.
No obstante, sabemos que es cierto por la mini demostración que hice con derivadas.
muestre si converge o diverge la siguiente serie utilizando el criterio de Leibnitz( criterio para series alternadas)
Serie de n= 1 al infinito de [ (-1)^n * ln(n)] / n Esa es la pregunta, no esta en un libro!!!
El criterio de Leibniz dice que dada una sucesión alternada
Sn = (-1)^n · An; con An >=0
Si An es decreciente y converge a 0 entonces la serie sumatorio de Sn es convergente
An es la sucesión ln(n) / n.
Hemos demostrado por el signo de la derivada que An es decreciente a partir de n=3.
Y se puede demostrar que An converge a 0 porque el denominador tiende a infinito mas rápidamente que el numerador. Si no se tiene eso claro se calcula por l'Hôpital
$$\lim_{n\to \infty}\frac{ln(n)}{n}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac 1n}{1}=\lim_{n\to\infty}\frac 1n=0$$Luego la serie alternada para n>=3 es convergente por el criterio de Leibniz. Y la serie a partir de 1 también es convergente ya que consiste en sumar 0 y ln(2)/2 a lo que sumaba la serie tras n=3.
Y eso es todo.
