Demostrar por Inducción Matemática que 1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1 + 2 + 3 + …+n)^2
He visto que has respondido 3 veces al menos esta misma pregunta, pero no me queda claro el porque o de donde obtienes lo siguiente:
Ahora demostremos aparte que
n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
¿Esta línea de donde sale?
1 respuesta
Fred Ro!
Para demostrar una proposición por inducción se tiene que:
1) Demostrar o comprobar que se cumple para n=1
2) Demostrar que si se cumple para un número n también se cumple para el número n+1
-----
1)
Para n=1 tenemos 1^3 = 1^2 luego se cumple
2)
Ahora supongamos que se cumple para n
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1 + 2 + 3 + …+n)^2
veamos que se cumple para n+1
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3= (1 + 2 + 3 + …+n)^2 + (n+1)^3 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + (n+1)(n+1)^2 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2
Ahora demostremos aparte que
n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
n(n+1) = 2(1+2+3+... +n)
n(n+1)/2 = 1+2+3+...+n
Lo cual es cierto porque es la fórmula de la suma de los n primeros elementos de una sucesión aritmética
entonces tenemos
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + 2(1+2+3+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =
esto es la formula de un cuadrado perfecto
= [(1+2+3 +...n)+ (n+1)]^2
Luego la fórmula es valida para n+1 y queda demostrada la inducción.
Gracias mil, entiendo la demostración y el proceso pero no me queda claro de donde tomas la expresión que demuestras: n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
Nosotros sabemos que tenemos que llegar a esto
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3 = [(1+2+3 +...n)+ (n+1)]^2 =
hemos tomado la parte de la izquierda y hemos llegado hasta aquí
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3 = (1+2+3+…+n)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2
entonces vemos que si se diera esta igualdad
n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
lo que tenemos a la derecha sería
(1+2+3+…+n)^2 +2(1+2+3+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =
que es el cuadrado perfecto de este binomio
= [(1+2+3+...+n) + (n+1)]^2
y con ello quedaría demostrada la inducción
Luego solo nos queda por demostrar que
n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
Y eso es fácil porque la suma de n elementos de una sucesión aritmética tiene esta fórmula
1+2+3+...+n = n(n+1)/2
n(n+1)/2 = 1+2+3+...+n
luego
n(n+1) = 2(1+2+3+...+n)
n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
Luego la respuesta a "¿de dónde sale eso?" es "de la necesidad"
Y eso es todo.
