Ayuda con este problema : Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio es
Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio es p(y) existe n pertenece a R , tal que d^n /dy^n [p(y)] = 0 para toda y perteneciente s R
1 Respuesta
Será inducción pero usaré la letra m ya que la n la emplean para otra cosa. La m será el grado del polinomio, luego en vez de empezar por m=1 empezaremos por m=0
Primero veamos que se cumple para m=0. Un polinomio de grado 0 es una constante cuya derivada es 0, luego para m=0 tomamos n=1 y se cumple la inducción.
Supongamos que se cumple para m y veamos que se cumple para m+1.
El polinomio de grado m+1 es uno de grado m más un monomio de grado m+1
$$\begin{align}&P_{m+1}(x) = P_m(x) + c·x^{m+1}\\ &\\ &\frac{d^m[P_{m+1}(x)]}{dx^m}= \frac{d^m[P_m(x)]}{dx^m}+c·(m+1)!=0+0=0\\ &\\ &\end{align}$$Luego se cumple para m+1.
Y con eso queda demostrada la inducción.
Espera que no lo hice bien.
La hipótesis es que n es el grado del polinomio mas uno
n=m+1
Para m=0 se cumplía como demostramos
supongamos que para un polinomio de grado m la derivada m+1 es cero
$$\begin{align}&P_{m+1}(x) = P_m(x) + c·x^{m+1}\\ &\\ &\\ &\frac{d^{m+1}[P_{m+1}(x)]}{dx^{m+1}}= \frac{d^{m+1}[P_m(x)]}{dx^{m+1}}+c·(m+1)!\\ &\\ &\text{Por hipçotesis el primer sumando es 0}\\ &\\ &\frac{d^{m+1}[P_{m+1}(x)]}{dx^{m+1}}= c·(m+1)!\\ &\\ &\frac{d^{m+2}[P_{m+1}(x)]}{dx^{m+2}}=0\\ &\\ &\end{align}$$Luego se cumple que para m+1 el valor de n=m+2 y se cumple la inducción.
Y eso es todo.
