Anónimo
Colorario 1 del calculo integral
Hola valeroasm!
Sea f continua en [a,b]. Si $ desde a hasta b de f(x)dx=0, demostrar que f(c)=0 por lo menos para un c E <a,b>.
Un saludo.
Sea f continua en [a,b]. Si $ desde a hasta b de f(x)dx=0, demostrar que f(c)=0 por lo menos para un c E <a,b>.
Un saludo.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Fabian pdl!
Si f(x) = 0 en [a,b] ya está.
Si no es así existe un punto de € [a, b] tal que f(d) <> 0 (<> significa distinto)
Además vamos as suponer sin perder generalidad que f(d) > 0, si fuera < 0 se demuestra de casi igual forma.
Como f es continua en d existe un entorno de [d-h, d+h] en que f(x) > 0
Podemos hacer una suma integral con una partición tal que haya un intervalo completamente incluido en este. Esa suma integral tendrá por tanto sumandos positivos. Para que esa suma integral tenga límite cero en [a,b], tendrá que tener sumandos negativos, luego habrá algún punto e en [a,b] donde la función sea negativa, f(e)<0.
Pero como la función es continua y tiene un valor d positivo y otro e negativo, tomará el valor cero en algún punto intermedio por el teorema de Bolzano.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No da mucho gusto usar aquí la notación matemática porque no se pueden escribir letras griegas ni algunos símbolos, pero este corolario era sencillo y no necesita mucha notación. Si no lo entendiste consulta lo que quieras.
Si f(x) = 0 en [a,b] ya está.
Si no es así existe un punto de € [a, b] tal que f(d) <> 0 (<> significa distinto)
Además vamos as suponer sin perder generalidad que f(d) > 0, si fuera < 0 se demuestra de casi igual forma.
Como f es continua en d existe un entorno de [d-h, d+h] en que f(x) > 0
Podemos hacer una suma integral con una partición tal que haya un intervalo completamente incluido en este. Esa suma integral tendrá por tanto sumandos positivos. Para que esa suma integral tenga límite cero en [a,b], tendrá que tener sumandos negativos, luego habrá algún punto e en [a,b] donde la función sea negativa, f(e)<0.
Pero como la función es continua y tiene un valor d positivo y otro e negativo, tomará el valor cero en algún punto intermedio por el teorema de Bolzano.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No da mucho gusto usar aquí la notación matemática porque no se pueden escribir letras griegas ni algunos símbolos, pero este corolario era sencillo y no necesita mucha notación. Si no lo entendiste consulta lo que quieras.