Límite direccional de función de 2 variables

Tengo que hacer despejar "x" haciendo los límites direccionales y dejar sólo las "m" (pendiente).
f(x,y)= x^3+y^3/x^2+y^2
Cuando y=mx
Se trata de sustituir las "y" por mx y luego despejar por y dejar sólo las "m".
Tengo el resultado y tal, peor no acabo de entender como se han despejado las x. Dicho resultado es:
1+m^2/1+m^2*0= 0
Lo que necesito es todo el proceso de despejar.
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BUeno creo que va a ser mejor que pongas el enunciado completo de tu problema, ya que no has puesto el límite que te piden calcular, es decir (x, y)->(0,0) por ejemplo.
Pon el enunciado completo mejor.
El límite que me piden es (0,0), de manera que no hay influencia alguna, el límite direccional va a seguir siendo y=mx.
Si que hay influencia, ya que es necesario saberlo para poder calcular el límite direccional, el problema que te surge creo que es el no saber realmente como se calculan los límtes direccionales. Te explico con tu ejemplo
Te piden calcular el siguiente límite
lim{(x,y)->(0,0)} f(x,y) = lim{(x,y)->(0,0)} x^3 + y^3 / x^2 + y^2
supongo que a la función te habrán puesto que f(0,0) = 0, ya que para que la función exista "x" debe ser distinta de cero.
entonces para nosotros calcular el límite, vamos a utilizar los límites direccionales, y para ello hacemos lo siguiente
lim{x -> 0}f(x,mx) = lim{x -> 0}x^3 + m^3 x^3 / x^2 + m^2 x^2 =
=lim{x -> 0}x^3 + m^3 x + m^2 x^2
Entonces calculamos el límite un límite normal
lim{x -> 0}x^3 + m^3 x + m^2 x^2 = 0^3 + m^3 · 0 + m^2·0^2 = 0
Entonces el límite no depende de m, es decir, no depende de la dirección, por tanto en caso de existir el límite, valdrá 0.
Ojo, que no depende de "m" no significa que el límite exista, si no, que si existe vale cero. Sin embargo, en el caso de que dependa de "m" indica que el límite no existe.
Hola, gracias por la respuesta, pero me queda la misma duda que al principio, concretamente en este paso que has descrito:
lim{x -> 0}f(x,mx) = lim{x -> 0}x^3 + m^3 x^3 / x^2 + m^2 x^2 =
=lim{x -> 0}x^3 + m^3 x + m^2 x^2
Que yo sepa, se trata de eliminar las "x" extrayendo factores, peor no entiendo que has hecho con la fracción... ¿por qué el denominador está sumando al numerador? ¿Podrçias explicarme como extraes factores? Es que me lío cuando tengo incógnitas con exponentes diferentes en numerador y denominador. Por ejemplo, ¿si tengo x^2/x^3 puedo extraer las 3 x del denominador dejando el numerador sin extraer factor y viceversa?
No se trata de eliminar las "x", si no de dejarlo como una función que dependa de "x" y de "m", luego cuando realizas la operación "limite", pierdes las "x" al sustituir los valores.
CUando tengas una fracción de potencias con la misma base es muy sencillo
Como tu has dicho, si tienes x^2/x^3, no puedes sacar 3x, puesto que no tienes 3x por ningún sitio, en todo caso puedes sacar como factor común arriba y abajo x^2. Y te quedaría 1/x
Pero para que entiendas la operación, vamos a ver lo siguiente. Si yo te pongo que resuelvas esto (x^2)·(x^3), seguro que rápidamente me dices x^5,¿no?
Ya que el producto de potencias con la misma base, se suman los exponentes y se mantiene la misma base.
Ahora si te pongo (x^2)·(x^-3), seguro que también rápidamente me dices (x^-1),¿no?
¿Por qué? porque 2+(-3) = 2-3 = -1. BUeno, pero si yo no quiere tener una exponente negativo, ¿qué hago? Pues todos sabemos que si tenemos a^-b eso es igual 1/a^b.
Entonces x^-1 = 1/x. Y entonces (x^2)/(x^3),
Por tanto, como conclusión tenemos que si tenemos el producto de dos potencias con la misma base se suman sus exponentes y se mantiene la base, y en el caso que tengamos una división de potencias con la misma base, se restan los exponentes y se mantiene la misma base, se resta el exponente del denominador al del numerador.
así en el ejercicio que me has puesto tenemos que x^3 / x^2 = x, ya que 3 - 2 = 1
Teniendo en cuenta esto último sobre extraer factores, ¿sería correcto hacer lo siguiente?
x^3+m^3x^3/x^2+m^2x^2=
(extraigo factor de x^2 común en numerador y denominador):
x+m^3x/1+m^2=
(y dado que x tiende a 0...)
0+m^3·0/1+m^2=
0/1+m^2=
0
Y ahora, a tenor de lo expuesto acerca de restar variables del denominador al numerador, ¿estaría esto que sigue bien?
x^3+m^3x^3/x^2+m^2x^2=
(subo las variables del denominador restando sus exponentes al numerador):
x+mx=
(puesto q x tiende a 0...)
0+m·0=
0
Gracias por las aclaraciones y por tener tanta paciencia conmigo :) Tengo una base en mates bastante mala y por eso pego estos tropiezos.
Eso último no está bien, eso no lo hagas, si subes el denominador, sólo resta a las "x" que divide no a todos. Yo creo que lo que has hecho es restarle 2 a todos los exponentes de las "x", pero eso no lo puedes hacer, porque x^2 sólo divide a m^3x^3. Además, a parte de hacer esa operación incorrecta has cometido otro fallo. Si tienes
m^2 x^2 / x^2, el resultado no es 0.
Ya que x^2/x^2, si hacemos 2-2 = 0, y nos quedaría x^0, que no vale 0, vale 1, entonces
m^2 x^2 / x^2 = m^2
Cualquier número (menos infinito) elevado a 0, vale 1.
Por cierto, no es necesario que arrastres durante todas las operaciones el /1, ya que cualquier cosa divido entre 1 es esa cosa. Así te liará menos.
Entonces la primera operación que he hecho está bien, ¿no? ¿Solamente está mal la segunda?
Sí, así es, de la primera lo único que te he dicho que no es necesario que hagas
m^3x/1, que eso es lo mismo que poner m^3x, sólo para que cuantas menos cosas tengas en la fórmula mejor.

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