Demuestra que la base usual de R^n forma un conjunto ortonormal.
ayudame con esta demostración de álgebra lineal.
1 Respuesta
Es bastante sencillo!
La base usual es
{(1,0,0, ...0), (0,1,0,...,0),···, (0,0,...0,1)}
Primero lo más fácil. Los vectores son normales porque todos tienen norma 1. En la raíz cuadrada que calcula la norma de un vector de esa base solo entra un 1^2 lo demás son ceros. Luego la raíz cuadrada es 1.
Y ahora queda ver que es ortogonal, para ello el producto escalar de cualquier vector con otro distinto debe ser cero. Y asi sucede, el producto escalar es la suma de los productos coordenada a coordenada
a·b = (a1,...,an)·(b1,...,bn) = a1b1 + a2b2+ ···· + anbn
(0,0,...,1,...,0) (0,0,0,...,1,...,0) = 0·0+...+1·0+...+ 0·1+...+0·0 = 0
Al ser a y b distintos no coinciden los lugares del único 1 que tiene cada vector y en todos esos sumandos hay un factor cero por lo menos, luego todos los sumandos son cero y su suma también. Luego son ortogonales.
Y eso es todo.
