Derivadas parciales

Y malas noticias para tu problema:
Si la solución existe, entonces se puede encontrar. Pero la solución no siempre existe, como te mostraré.
(1):  dz/dx=g(x,y)
(2):  dz/dy=h(x,y)
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Primero definamos lo siguiente:
Gx(x,y) a la integral con respecto de "x" de g(x,y)
Hy(x,y) a la integral con respecto de "y" de h(x,y)
y sean C(x) y D(y) funciones que dependen de "x" y de "y" respectivamente
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((Recuerda que la integral de una derivada de z(x, y), es z(x, y), por el teorema fundamental del cálculo))
Si integras (1) con respecto de "x" obtienes:
z(x,y)=Gx(x,y)+C(y) 
y al integrar (2) con respecto de "y":
z(x,y)=Hy(x,y)+D(x) 
 luego la igualdad de estos términos siempre se debe cumplir, pero
z(x,y)= Gx(x,y)+C(y)+Hy(x,y)+D(x)     no siempre es válido.
Como ejemplo de esto último, si buscas una función z(x, y) que cumpla con: dz/dx=y, dz/dy=1
aplicando los pasos que te expliqué se obtiene:
z(x,y)=xy+C(y)
z(x,y)=y+D(x)
luego  xy+C(y)=y+D(x), lo que nunca se cumple.
Otro ejemplo: (donde se cumple):
toma dz/dx=4x+y
y dz/dy=x+1.
Si te quedó algún paso con dudas vuelve a preguntar,
de lo contrario te pido no dejes de evaluar mi respuesta,
Éxito,
Mathtruco.