Conservación del momento cinético
Una bola de billar de masa m choca contra una banda a una velocidad V. Es un choque perfectamente elástico y la bola sale rebotada con un valocida V.
Me preguntan si se cumple la conservación del momento cinético: evidentemente sí, antes del choque es mV y después del choque es mV. Esa es mi respuesta, pero mi profesor dice que no tengo razón, pues antes es mV y después es -mV, pues la bola va en sentido contrario. Entiendo lo que quiere decirme, pero me ha dicho que hay una trampa.
¿Se conserva el momento cinético o no?. El dice que sí, pero que yo me equivoco.
Me preguntan si se cumple la conservación del momento cinético: evidentemente sí, antes del choque es mV y después del choque es mV. Esa es mi respuesta, pero mi profesor dice que no tengo razón, pues antes es mV y después es -mV, pues la bola va en sentido contrario. Entiendo lo que quiere decirme, pero me ha dicho que hay una trampa.
¿Se conserva el momento cinético o no?. El dice que sí, pero que yo me equivoco.
Respuesta de mikel1970
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Tiene razón tu profesor, pues por supuesto que se conserva el momento cinético, pero no de la forma que tú lo planteas. La bola que golpea tiene inicialmente un momento m*V y tras el choque es -m*V, pues la bola tiene dirección contraria.
Lo que ocurre es que lo que se conserva es el momento cinético del sistema es decir de la bola y la pared ( que si no se mueve es porque su masa es muy grande.
Veamos: La bola de masa m choca a una velocidad V sobre la pared de masa M e inicialmente parada. Tras el choque la bola se va a mover a una velocidad V1, y la mesa a V2. En tal caso
1º Conservación del momento cinético:
m*V = m*V1 + M*V2
2º Conservación de la energía cinética:
(1/2)*m*V^2 = (1/2)*m*V1^2 + (1/2)*M*V2^2
m*V^2 = m*V1^2 + M*V2^2
Nos queda el sistema:
m*V = m*V1 + M*V2
m*V^2 = m*V1^2 + M*V2^2
Dividiendo ambas ecuaciones entre M:
m/M *V = m/M *V1 + V2
m/M *V^2 = m/M *V1^2 + V2^2
Definiendo por comodidad:
k=m/M
k*V = k*V1 + V2
k*V^2 = k*V1^2 + V2^2
Despejando de la primera
V2 = k*V - k*V1
y sustituyendo
k*V^2 = k*V1^2 + (k*V - k*V1)^2
k*V^2 = k*V1^2 + k^2*V^2 - 2*k^2*V*V1 + k^2*V1^2
Dividiendo por k y agrupando
V^2 = V1^2 + k*V^2 - 2*k*V*V1 + k*V1^2
(k+1)*V1^2 - 2*k*V*V1 + (k-1)*V^2 = 0
Resolviendo la ecuación nos quedarán las soluciones:
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*k^2*V^2-4*(k+1)*(k-1)*V^2]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*k^2*V^2-4*(k^2-1)*V^2]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*k^2*V^2-4*k^2*V^2+4*V^2)]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*V^2)]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-2*V]/[2*(k+1)]
V1 = [2*(k-1)*V]/[2*(k+1)]
quedando finalmente
V1 = [(k-1)/(k+1)]*V
Sustituyendo ahora en V2
V2 = k*V - k*V1
V2 = k*V - k*[(k-1)/(k+1)]*V
V2 = [k - (k^2-k)/(k+1)]*V
V2 = [(k^2 + k - k^2 + k)/(k+1)]*V
V2 = [(2*k)/(k+1)]*V
La otra solución nos proporciona V1=V y V2=0, lo que no tiene sentido, pues sería omo si la masa1 atravesara a la masa2
Así pues, al chocar los dos cuerpos:
V1 = [(k-1)/(k+1)]*V
V2 = [(2*k)/(k+1)]*V
Esto es cierto sean como sean los cuerpos, pero vamos ahora a nuestro caso:
La masa M de la pared es mucho más grande que la de la bola m, con lo que
K = m/M ---> 0
Así pues
V1 = -V ---> Velocidad de la bola tras el choque
V2 = 0 ---> Velocidad de la pared tras el choque.
Como ves sí se conserva el momento cinético, así como la energía cinética, pero del sistema.
Lo que ocurre es que lo que se conserva es el momento cinético del sistema es decir de la bola y la pared ( que si no se mueve es porque su masa es muy grande.
Veamos: La bola de masa m choca a una velocidad V sobre la pared de masa M e inicialmente parada. Tras el choque la bola se va a mover a una velocidad V1, y la mesa a V2. En tal caso
1º Conservación del momento cinético:
m*V = m*V1 + M*V2
2º Conservación de la energía cinética:
(1/2)*m*V^2 = (1/2)*m*V1^2 + (1/2)*M*V2^2
m*V^2 = m*V1^2 + M*V2^2
Nos queda el sistema:
m*V = m*V1 + M*V2
m*V^2 = m*V1^2 + M*V2^2
Dividiendo ambas ecuaciones entre M:
m/M *V = m/M *V1 + V2
m/M *V^2 = m/M *V1^2 + V2^2
Definiendo por comodidad:
k=m/M
k*V = k*V1 + V2
k*V^2 = k*V1^2 + V2^2
Despejando de la primera
V2 = k*V - k*V1
y sustituyendo
k*V^2 = k*V1^2 + (k*V - k*V1)^2
k*V^2 = k*V1^2 + k^2*V^2 - 2*k^2*V*V1 + k^2*V1^2
Dividiendo por k y agrupando
V^2 = V1^2 + k*V^2 - 2*k*V*V1 + k*V1^2
(k+1)*V1^2 - 2*k*V*V1 + (k-1)*V^2 = 0
Resolviendo la ecuación nos quedarán las soluciones:
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*k^2*V^2-4*(k+1)*(k-1)*V^2]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*k^2*V^2-4*(k^2-1)*V^2]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*k^2*V^2-4*k^2*V^2+4*V^2)]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-sqrt(4*V^2)]/[2*(k+1)]
V1 = [(2*k*V)-2*V]/[2*(k+1)]
V1 = [2*(k-1)*V]/[2*(k+1)]
quedando finalmente
V1 = [(k-1)/(k+1)]*V
Sustituyendo ahora en V2
V2 = k*V - k*V1
V2 = k*V - k*[(k-1)/(k+1)]*V
V2 = [k - (k^2-k)/(k+1)]*V
V2 = [(k^2 + k - k^2 + k)/(k+1)]*V
V2 = [(2*k)/(k+1)]*V
La otra solución nos proporciona V1=V y V2=0, lo que no tiene sentido, pues sería omo si la masa1 atravesara a la masa2
Así pues, al chocar los dos cuerpos:
V1 = [(k-1)/(k+1)]*V
V2 = [(2*k)/(k+1)]*V
Esto es cierto sean como sean los cuerpos, pero vamos ahora a nuestro caso:
La masa M de la pared es mucho más grande que la de la bola m, con lo que
K = m/M ---> 0
Así pues
V1 = -V ---> Velocidad de la bola tras el choque
V2 = 0 ---> Velocidad de la pared tras el choque.
Como ves sí se conserva el momento cinético, así como la energía cinética, pero del sistema.
