Solución correcta de una integral

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¡Hola Camila!

No se ve otra forma de hacerla que con un cambio trigonométrico.

$$\begin{align}&\text{Cuando tengamos}\\&\\&\sqrt {(m^2-n^2x^2)^p}\\&\\&\text{la forma de reventar la raíz cuadrada es con el cambio:}\\&\\&x=\frac{m}{n}sen\,t\implies t= arcsen \frac {nx}m\\&\\&\int \frac{(16-9x^2)^{\frac 32}}{x^6}dx=\\&\\&x= \frac 43sen\,t\implies t= arcsen \frac{3x}{4}\\&dx= \frac 43 \cos t\;dt\\&\\&\int \frac{\left(16-9·\frac{16}{9}sen^2t  \right)^{\frac 32}}{\frac{4^6}{3^6} sen^6t}·\frac 43cost\;dt=\\&\\&\frac{3^6}{4^6}·\frac 43\int \frac{[16(1-sen^2t)]^{\frac 32}}{sen^6t}·\cos t \;dt=\\&\\&\frac{3^5}{4^5}·16^{\frac 32}\int \frac{(\cos^2t)^{\frac 32}}{sen^6t}·\cos t\;dt=\\&\\&\frac{243}{16} \int \frac{\cos^4 t}{sen^6t}dt=\frac{243}{16}\int ctg^4t·csc^2t\;dt=\\&\\&u= ctg\,t\\&du=-csc^2t\;dt\\&\\&-\frac{243}{16} \int u^4 du=-\frac {243}{16} \frac{u^5}{5}+C=\\&\\&-\frac{243}{80}ctg^5t+C=\\&\\&-\frac{243}{80}ctg^5\left(arcsen \frac {3x}4\right)+C=\\&\\&-\frac{243}{80}ctg^5\left(arcctg \frac {\sqrt{1-\frac{9x^2}{16}}}{\frac{3x}{4}}\right)+C=\\&\\&-\frac{243}{80}\left(\frac{\sqrt{16-9x^2}}{3x}   \right)^5+C=\\&\\&-\frac{\sqrt{(16-9x^2)^5}}{80x^5}+C\end{align}$$

Y eso es todo, algún paso no se ha escrito porque el editor de ecuaciones ya no podía con más.

Sa lu dos.

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