¿Cómo aplicar reflexión a un polígono?
Obtener la imagen del cuadrilátero ABCD, al ser reflejado sobre la recta y=3x si
A(4,2)B(7,1)C(8,3)D(6,4)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Aaron!
Si rotamos el eje X hasta la recta y=3x el ángulo de giro es uno cuya tangente vale 3, por lo tanto
$$\begin{align}&3=\frac{sen\alpha}{\cos\alpha}\\&\\&3cos\alpha = sen\alpha\\&\\&\text{sustituyendo en la identidad fundamental}\\&\\&(3cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\\&\\&10 \cos^2\alpha = 1\\&\\&\cos\alpha= \frac{1}{\sqrt{10}}\\&\\&sen\alpha= \sqrt{1-\frac 1{10}}= \frac 3{\sqrt{10}}\\&\\&\text{La ecuación del giro es}\\&\\&x'=x\,\cos\alpha+y\,sen \alpha\\&y'=y\,\cos\alpha-x\,sen\alpha\\&\\&\text{las coordenadas de los puntos serán}\\&\\&A'=\left(\frac{4·1+2·3}{\sqrt {10}},\frac{2·1-4·3}{\sqrt{10}}\right)=\left(\frac{10}{\sqrt {10}},\frac{-10}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&B'=\left(\frac{7·1+1·3}{\sqrt {10}},\frac{1·1-7·3}{\sqrt{10}}\right)=\left(\frac{10}{\sqrt {10}},\frac{-20}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&C'=\left(\frac{8·1+3·3}{\sqrt {10}},\frac{3·1-8·3}{\sqrt{10}}\right)=\left(\frac{17}{\sqrt {10}},\frac{-21}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&D'=\left(\frac{6·1+4·3}{\sqrt {10}},\frac{4·1-6·3}{\sqrt{10}}\right)=\left(\frac{18}{\sqrt {10}},\frac{-14}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&\text{La reflexión sobre este sistema es cambiar de signo de la y}\\&\\&A''=\left(\frac{10}{\sqrt {10}},\frac{10}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&B''=\left(\frac{10}{\sqrt {10}},\frac{20}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&C''=\left(\frac{17}{\sqrt {10}},\frac{21}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&D''=\left(\frac{18}{\sqrt {10}},\frac{14}{\sqrt{10}}\right)\\&\\&\text{Y ahora calculamos respecto los ejes originales}\\&\\&x'''=x''\,\cos\alpha-y''\,sen \alpha\\&y'''=y''\,\cos\alpha+x''\,sen\alpha\\&\\&A'''=\left(\frac{10·1-10·3}{10},\frac{10·1+10·3}{10}\right)=\left(-2,4\right)\\&\\&B'''=\left(\frac{10·1-20·3}{10},\frac{20·1+10·3}{10}\right)=\left(-5,5\right)\\&\\&C'''=\left(\frac{17·1-21·3}{10},\frac{21·1+17·3}{10}\right)=\left(-\frac{23}{5},\frac{36}{5}\right)\\&\\&D'''=\left(\frac{18·1-14·3}{10},\frac{14·1+18·3}{10}\right)=\left(-\frac{12}{5},\frac{34}{5}\right)\\&\\&\text{Habrá que verificarlo}\\&\end{align}$$
Yo creo que está bien, deja que los verifico, está bien. Solo que los aquí escritos con prima sonl los triple prima del cálculo.
Y eso es todo, sa lu dos.
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