Ejercicio de calculo integral:Calcular el área de las curvas

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¡Hola Ana!

Ya que tenemos que graficar lo hacemos lo primero y así nos sirve de ayuda

Aunque se ve claramente donde están las intersecciones debemos calcularlo algebraicamente.

Igualando ambas funciones

x^2+1=3-x^2

2x^2 = 2

x^2 =1

Las intersecciones son x=-1  y x=1, esos serán los límites de integración.

También hace muy bonito si la integral te da resultado positivo, para ello tienes que poner primera la curva que esta por arriba en la zona de integración y la de abjo es la que se resta.

$$\begin{align}&A=\int_{-1}^1(3-x^2-(x^2+1))dx=\\&\\&\int_{-1}^1(3-x^2-x^2-1) dx=\\&\\&\int_{-1}^1(2-2x^2)dx=2\left[x- \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1=\\&\\&2\left(1-\frac 13+1-\frac 13  \right)=2\left(2-\frac 23\right)=2·\frac 43=\frac{8}3\end{align}$$

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Espera, lo tengo mal, yo pensaba que decían entre tantos el área comprendida entre las curvas y no me fije que era entre unos límites que nos daban.

La diferencia ahora es que tenemos que hacer la integral en tres trozos y sumar el valor absoluto de lo que salga en cada trozo, porque algunas podrán ser negativas.

Los tres trozos son [-2, -1], [-1, 1] y [1,2]

Pero como somos listos haremos solo el [0,1] y [1,2] y por simetría respecto del eje X multiplicaremos por dos.

Que hay simetría está claro porque las dos funciones son pares, cumplen

f(-x)=f(x)

la integral ya las hice antes, iré a la parte final.

$$\begin{align}&A=2\left(\left| \int_0^1(3-x^2-(x^2+1)dx \right| +\left| \int_1^2(3-x^2-(x^2+1)dx \right|  \right)=\\&\\&....  \text{las cuentas que hice antes}\\&\\&\\&=2\left(\;\;\left|2·\left[ x-\frac {x^3}3 \right]_0^1\right|\;\;+ \left|2·\left[ x-\frac {x^3}3 \right]_1^2\right| \right)=\\&\\&2\left(\;\;\left|2·\left( 1-\frac {1}3 \right)\right|\;\;+ \left|2·\left( 2-\frac {8}3-1+\frac 13 \right)\right| \right)=\\&\\&2\left(\frac 43+\left|2\left(1-\frac 73  \right)  \right|\right)=2\left(\frac 43+\left|2\left(-\frac 43 \right)  \right|\right)=\\&\\&2\left(\frac 43+\frac 83\right)=8\end{align}$$

Y eso es todo, siento el lío.  Fíjate también que aquí no se pueden hacer los trucos de pizarra cuando se está con el alumno, tiene que estar todo muy bien organizado y escrito todo en orden y eso lleva a que parezca mucho más pesado.

Saludos.

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¡Gracias! le agradezco mucho el esfuerzo, en verdad gracias

Disculpe, la gráfica me da 

y dice el maestro que me corrigió que La integral de 3 es 3x, y de 1 es x, y que dado a que no lo esta agregado esto afecta el resultado., la verdad me confundió. si pudiera ayudarme por favor

Ese programa o lo que sea que estás usando no funciona bien o no lo estás usando bien. Cuando la funciones se cruzan hay que hacer varias integrales y sumar los valores absolutos de cada trozo. Ya que las areas deben sumarse siempre con su valor positivo. Si haces la integral de una sola vez hay áreas positivas y otras negativas con lo cual no se suman y te da un área menor de la que hay.

Lo que tu has hecho es la integral entre -1 y 2 de golpe

La integral indefinida era 2(x - x^3/3), voy a ver cuánto vale entre -1 y 1

2(1-1/3+1-1/3) = 2·4/3 = 8/3 = 2.6666...

Luego lo que ha pasado esta vez es que has calculado solo el área entre -1 y 1. Respecto a lo del maestro me dices errores de cosas que no están en las integrales que he hecho yo, deberías mostrarme cómo se lo has entregado para ver si tiene razón.

Saludos.

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Ya le envié exactamente el procedimiento que usted me enseño, y aun así me dice lo mismo, yo creo que a lo mejor el maestro se confundió entre tatos trabajos, porque yo sabia lo mismo que usted me dijo, que se tienen que resolver por partes, y sumar las partes, le voy a enviar también esto ultimo que me dijo de hacerlo directamente, a ver si ya así ya esta conforme, aunque yo siento que como el lo esta pidiendo no es. Muchas gracias por su ayuda, de verdad, no sabe cuanto aprecio el esfuerzo que hace en ayudarnos. Gracias