Comprobar punto critico y máximo local
Sea la función
$$\begin{align}&f(x,y,x) = (2-x)yz \end{align}$$en el punto P (1,1,2) y la superficie S de ecuacion
$$\begin{align}&8x-4y^2 - z^2=0\end{align}$$.
a) Compruebe que P es un punto critico de la función f sobre la superficie S
b) Pruebe que en P, f restringuida a S, presenta un máximo local.
c) Calcular el vector normal a la superficie.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anto!
Será un punto crítico si anula las tres derivadas parciales
$$\begin{align}&\text{Sea } \varphi(x,y,z)=8x-4y^2-z^2\\&\\&\text{tomemos la función auxiliar}\\&\\&F(x,y,z)= f(x,y,z)+\lambda \varphi(x,y,z) =\\&\\&(2-x)yz+\lambda (8x-4y^2-z^2)\\&\\&\text{la dervamos e igalamos a cero}\\&\\&\frac{\partial F}{\partial x}=-yz+8\lambda=0\\&\\&\frac{\partial F}{\partial y}=(2-x)z-8\lambda y=0\\&\\&\frac{\partial F}{\partial z}=(2-x)y -2\lambda z=0\\&\\&\text{Veamos si el punto que nos dan las verifica para cierto }\lambda\\&\\&-1·2+8\lambda=0\implies\lambda=\frac 14\\&\\&(2-1)·2-8\lambda·1=0\implies 2-8\lambda=0\implies \lambda=\frac 14\\&\\&(2-1)·1-2\lambda·2=0\implies 1-4\lambda=0\implies \lambda=\frac 14\\&\\&\end{align}$$Luego es cierto que lambda=1/4 es el multiplicador de Lagrange de la función ligada a esa superficie y el punto (1,1,2) es un punto crítico.
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Hagamos la función de dos variables, lo más sencillo es despejar x en la superficie.
$$\begin{align}&x=\frac{4y^2+z^2}{8}\\&\\&f(y,z)=\left(2-\frac{4y^2+z^2}{8} \right)yz=\\&\\&2yz-\frac{y^3z}{2}-\frac{yz^3}{8}\\&\\&\\&\text{calculamos las derivadas parciales y el Hessiano}\\&\\&\frac{\partial f}{\partial y}=2z-\frac{3y^2z}{2}-\frac {z^3}{8}\\&\\&\frac{\partial f}{\partial z}=2y-\frac{y^3}{2}-\frac{3z^2}{8}\\&\\&\\&\frac{\partial ^2 f}{\partial y\partial y}=-3yz\\&\\&\frac{\partial ^2 f}{\partial y\partial z}=2-\frac{3y^2}{2}-\frac{3z^2}{8}\\&\\&\frac{\partial ^2 f}{\partial z\partial z}=-\frac {3z}{4}\\&\\&\text{en el punto (1,1,2) las derivadas segundas son}\\&\\&\frac{\partial ^2 f}{\partial y\partial y}=-6\\&\\&\frac{\partial ^2 f}{\partial y\partial z}=2-\frac{3}{2}-\frac{12}{8}=-1\\&\\&\frac{\partial ^2 f}{\partial z\partial z}=-\frac 32\\&\\&\text{El hessiano es}\\&\\&\frac{18}{2}-1=8\\&\\&\end{align}$$Como el Hessiano es positivo y el menor de orden 1 es -6 que es negativo, entonces el punto es un máximo local.
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En el apartado anterior hemos despejado x como función de las variables y y z.
$$\begin{align}&x=\frac{4y^2+z^2}{8}\\&\\&x'_y=y\\&\\&x'_z=\frac z4\\&\\&\text{Los vectores de las derivadas parciales en (1,1,2) son}\\&\\&(y,1,0) = (1,1,0)\\&\\&\left(\frac z4,0,1 \right)=\left(\frac 12,0,1\right)\\&\\&\text{Y el producto vectorial de los dos es}\\&\\&(1·1-0·0)i-\left(1·1-0·\frac 12\right)j+\left(1·0-1·\frac 12 \right)k=\\&\\&i-j-\frac k2\\&\\&\text{Es el vector }\left(1,-1,-\frac 12 \right)\text{ o mejor }(2,-2,-1)\end{align}$$--
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