¿Cómo calcular el área usando integrales dobles?
Usar una integral doble para calcular el área de la región sombreada.
1 respuesta
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¡Hola Francisco!
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El área compredida dentro de una función dada en coordenadas polares no se calcula con integrales dobles, eso sería si fueran coordenadas cartesianas. Para las polares la fórmula es:
$$\begin{align}&A=\frac 12\int_{\theta_1}^{\theta_2}f(\theta)^2\,d\theta =\\&\\&\frac 12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2 d\theta=\\&\\&\frac 12\int_0^{2\pi}\left(1+2 \cos \theta+ \cos^2\theta\right) d\theta\\&\\&\left[\frac{\theta}{2}+sen\,\theta\right]_0^{2\pi}+\frac 12\int_0^{2\pi}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta=\\&\\&\pi+\frac 12\left[\frac{\theta}{2}+\frac{sen\, 2\theta}{4} \right]_0^{2\pi}=\\&\\&\pi+\frac{\pi}{2}=\frac {3\pi}2\end{align}$$---
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¡Gracias!
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Bueno, ahora que lo pienso, sí se podría hacer como una integral doble
$$\begin{align}&A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_0^{f(\theta)}r\; dr\,d\theta\end{align}$$Con lo cual tras hacer la primera integral y evaluar los límites tienes la misma integral que tenías antes al principio.
Saludos.
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Me puede apoyar a realizarla para ver cómo quedaría por favor??
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Sería
$$\begin{align}&V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1+\cos \theta}r \;dr\,d\theta=\\&\\&\int_0^{2\pi}\frac{r^2}{2}\bigg|_0^{1+\cos \theta}d\theta=\\&\\&\int_0^{2\pi}\frac{(1+\cos^2\theta)^2}{2}d\theta=\\&\\&\frac 12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\;...\end{align}$$Y tras estas cuentas extras para que sea una integral doble, has llegado exactamente al punto donde habíamos empezado antes, luego la continuación es la que ya tenías.
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Quedaría como resultado 3pi/2 ??
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Sí claro, es la misma integral, el mismo resultado.
Saludos.
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