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¡Hola Francisco!
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El área compredida dentro de una función dada en coordenadas polares no se calcula con integrales dobles, eso sería si fueran coordenadas cartesianas. Para las polares la fórmula es:
$$\begin{align}&A=\frac 12\int_{\theta_1}^{\theta_2}f(\theta)^2\,d\theta =\\&\\&\frac 12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2 d\theta=\\&\\&\frac 12\int_0^{2\pi}\left(1+2 \cos \theta+ \cos^2\theta\right) d\theta\\&\\&\left[\frac{\theta}{2}+sen\,\theta\right]_0^{2\pi}+\frac 12\int_0^{2\pi}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta=\\&\\&\pi+\frac 12\left[\frac{\theta}{2}+\frac{sen\, 2\theta}{4} \right]_0^{2\pi}=\\&\\&\pi+\frac{\pi}{2}=\frac {3\pi}2\end{align}$$
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