¿Cómo se simplifica la siguiente expresión?

Beatriz Moreno!

Hay que poner todo con funciónes del ángulo alfa sin el añadidio de pi. La busqueda de cada expresión podría basarse en una serie de fórmulas conocidas de memoria, pero por si falla este y porque es mejor saber deducir se pueden hallar obsevando lo que pasa en la circunferencia unidad con el ángulo de 30º

Empezamos

sen(π+α) = sen(180º+α)

si tomamos α=30º tenemos 180º+α = 210º vemos que el seno es el mismo pero hacia abajo luego

sen(π+α) = -senα

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cos(π/2-α) = cos(90º-α)

tomando α=30º tendremos 90º-α = 60º.  Y el coseno de 60º es el seno de 30º luego

cos(π/2-α) = senα

Esta es una norma que yo si recordaba, los ángulos complemetarios (suman 90º) intercambian el seno y el coseno)

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tg(π-α) = tg(180º-α)

tomando α=30º tendremos 180º-α=150º. Es un ángulo simetrico respecto del eje Y tiene el mismo seno pero el coseno con signo contrario, luego la tangente será la misma pero con signo contrario, luego

tg(π-α) = -tgα

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ctg(2π-α) = ctg(360º-α)

Si α= 30º tenemos 2pi-α=330º, es el ángulo simétrico respecto al eje X, tienen el mismo coseno pero el seno con signo opuesto, luego la cotangente es también opuesta

ctg(2π-α) -ctgα

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Y ahora iremos con estas identidades y las sustituirermos en la expresión que nos dan

$$\begin{align}&\frac{sen (π +α)· \cos\left(\frac π2- α\right)}{(\cos^2 α-1)· tg (π-α)·cotg (2π -α)}=\\ & \\ & \frac{-sen \,\alpha· sen\,α}{(-sen^2\alpha)· (-tg\, α)(-ctg\, \alpha)}=\\ &\\ & \frac{-sen^2}{-sen^2\alpha· tg\, α·ctg\, \alpha}=\\ &\\ &\frac{1}{tg\,\alpha·ctg\,\alpha}=\\ &\\ &\text{La tangente por la cotangente es 1}\\ &\\ &= \frac 11 = 1\end{align}$$

Y ya ha quedado simplificada, más es imposible, la expresión vale 1.

Hola! muchísimas gracias por contestar a mi duda.La primera parte de la explicación la he entendido pero a partir  de la tercera línea del cuadro gris no lo entiendo,me pierdo.

Puede explicármelo? Gracias de nuevo y siento la molestia

En la tercera línea veo que se me quedó sin poner un alfa, ahora lo pongo

$$\begin{align}&\frac{sen (π +α)· \cos\left(\frac π2- α\right)}{(\cos^2 α-1)· tg (π-α)·cotg (2π -α)}=\\ & \\ & \frac{-sen \,\alpha· sen\,α}{(-sen^2\alpha)· (-tg\, α)(-ctg\, \alpha)}=\\ &\\ & \frac{-sen^2\alpha}{-sen^2\alpha· tg\, α·ctg\, \alpha}=\\ &\\ &\frac{1}{tg\,\alpha·ctg\,\alpha}=\\ &\\ &\text{La tangente por la cotangente es 1}\\ &\\ &= \frac 11 = 1\end{align}$$

¿Lo entiendes ahora?

En el denominador había tres signos - cuyo resultado es - por eso he dejado solo uno.

Ya me dirás si ahora lo entiendes.

¡Gracias! lo he entendido muy bien