Verifica la siguiente identidad y su dominio de validez
Cotg( x+ 180°) +cos( 90° -x) / 1-cos(180°-x) = cosec x
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Coth(x+180°) + cos(90°-x) / [1- cos(180°-x)] = cosec x
creo que hay lo escribí bien
Escribiste esto con las abreviaturas españolas.
$$Ctg(x+180°) + \frac{\cos(90°-x)} {1- \cos(180°-x)} = csc x$$Confírmame si es eso porque es algo complicada y si no es la verdadera me puedo hacer mucho lío.
si es esa
Antes de continuar voy a corregir un par de erratas que he descubierto al leer las preguntas finalizadas.
En la del perímetro del triángulo isósceles decía que pusieras el lado desigual arriba, quería decir abajo que es lo normal.
En el del numero racional no entero ponía:
[17 +- 15] / 16 = 2/16 y 2
Como nos dicen que es entero tiene que ser
2/16 = 1/8
Lo que quería decir es:
Como nos dicen que no es entero tiene que ser
2/16 = 1/8
Y ahora vamos ya con el problema.
Debemos utilizar la circunferencia unidad para ver como son los senos y cosenos de los ángulos que nos dicen. Las reglas son independientes del ángulo con el que probemos, pero no las obtendrás todas si tomas un ángulo 0º o 45º, mejor que tomes por ejemplo 30º y vas probando.
Primero probamos con x+180º que si x=30º será 210º. Como puedes ver el seno es el mismo pero negativo y el coseno el el mismo pero negativo, luego
sen(x+180º) = -senx
cos(x+180º) = -cosx
tg(x+180º) = -senx / (-cosx) = senx / cosx = tgx
Ahora vamos a probar con el ángulo 90º-x (complementario), que si seguimos probando con x=30º será el ángulo de 60º
El seno de 60º es el coseno de 30º y coseno de 60º es el seno de 30º, luego
sen(90º-x) = cosx
cos(90º-x) = senx
Y por fin probamos con el ángulo 180º-x (suplementario), si x=30º es 150º
vemos que el seno es el mismo y el coseno es el opuesto
sen(180º-x) = senx
cos(180º-x) = -cosx
Y con esto pondremos la fórmula toda en función del ángulo x a secas
$$\begin{align}&ctg(x+180°) + \frac{\cos(90°-x)} {1- \cos(180°-x)} = csc x\\ &\\ &\\ &ctg(x) + \frac{senx} {1+cosx} = csc x\\ &\\ &\\ &\frac{cosx}{senx}+\frac{senx}{1+cosx}=\frac{1}{senx}\\ &\\ &\\ &\frac{cosx(1+cosx)+sen²x}{senx(1+cosx)}=\frac {1}{senx}\\ &\\ &\\ &\frac{cosx+\cos²x+sen²x}{senx(1+cosx)}=\frac {1}{senx}\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{cosx+1}{senx(1+cosx)}=\frac {1}{senx}\\ &\\ &\\ &\frac{1}{senx}=\frac{1}{senx}\end{align}$$Luego es verdadera la identidad.
Y eso es todo.
¡Ah espera, que preguntaba también el dominio de validez! Será válida allá donde no haya ningún denominador que valga 0. Entonces teníamos esto cuando se puso todo en función del seno y del coseno
$$\frac{cosx}{senx}+\frac{senx}{1+cosx}=\frac{1}{senx}$$Luego senx no puede ser cero, eso elimina los valores x=0 y x=pi
y 1+cosx no puede ser cero luego
1+cosx=0
cosx = -1
x = pi
ya lo teníamos descartado.
Luego en el primer periodo se eliminan los puntos 0 y pi, si lo ampliamos a toda la recta real los puntos a eliminar son
0 + 2k·pi
pi + 2k·pi
Con k€Z
Cada pi hay un descartado luego se puede agrupar y expresar más fácilmente como
k·Pi con k€Z
Luego el dominio de validez será
R - {k·pi | k€Z}
Y eso es todo.
