¿Cada cuántos minutos salen los autobuses de las terminales?
Inés, cuando caminaba a lo largo de la línea de autobús entre A y B, observó que cada 12 minutos la cruzaba uno de los autobuses que llevaban su misma dirección, y cada 4 minutos otro de los que llevaban dirección contraria. ¿Cada cuántos minutos salen los autobuses de las terminales? (supóngase velocidades constantes)
1 Respuesta
Interesante problema.
Sea u la velocidad de Ines y sea v la de los autobuses y sea s el tiempo entre autobuses
Sea t0 el instante donde le adelanta el primer autobús en el punto x, y sea t1 el instante en el que salió el autobús
x = u·t0
x = v(t0-t1)
luego
1) u·t0 = v(t0-t1)
En t0 + 12 le adelanta el segundo autobús en el punto y
y = u(t0+12)
y = v(t0+12-t1-s)
luego
u(t0+12)=v(t0+12-t1-s)
Si restamos la ecuación llamada 1) a esta tenemos
12u = v(12-s)
Y en sentido contrario.
Sea t2 el instante donde le cruza el primer autobús de sentido contrario en el punto x, y sea t3 el instante en el que salió el autobús, y sea d la distancia AB
x=u·t2
d - x = v(t2-t3)
luego
2) u·t2 = d - v(t2-t3)
En t2 + 4 le cruza otro
y =u(t2+4)
d - y = v(t2+4-t3-s)
luego
u(t2+4) = d - v(t2+4-t3-s)
Restamos la ecuación llamada 2 a esta
4u = -v(4-s)
Tenemos dos ecuaciones
12u = v(12-s)
4u = -v(4-s)
Si dividimos la de arriba entre la de abajo tenemos
3 = -(12-s)/(4-s)
3(4-s) = -(12-s)
12 - 3s = -12 + s
24 = 4s
s = 6
Luego los autobuses salen cada 6 minutos.
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Para comprobarlo vamos a calcular cual es la proporción de velocidades entre Ines y autobús
12u = v(12-s)
12(u/v) = 12-6 = 6
u/v = 6/12 = 1/2
El autobús lleva doble velocidad que Ines. Supongamos que Ines va a 1 hm/min no es mala velocidad, entonces el autobús va a 2 hm/min y la distancia es 60 hm
En el minuto 0 supongamos que salen de Ay B autobuses
El primer autobús de A que le adelanta será el segundo que sale 6 minutos después
Ines ya lleva 6hm y en 6 minutos más llevará 12 que son los que recorrerá el autobús, luego le adelantará en el minuto 12. El siguiente que le adelantará sale el el minuto 12 cuando Ines lleva 12 hm y en otros 12 m ambos llevarán 24 hm. Luego había 12min entre un adelantamiento y otro. Si quieres puedes comprobar que el tercero también le adelanta 12 minutos más tarde
Ahora veamos cuando se cruza con el primero del otro lado
En el minuto 20 habrá recorrido 20 hm y el autobús 40 hm, como hay 60 entre A y B es justo cuando se juntan.
El segundo autobús ha salido 6 minutos más tarde luego lleva 28 hm recorridos. Cuatro minutos más tarde el autobús llevara 36 e Ines 24, entonces se cruzan. Y asi se puede comprobar con los siguientes.
Ha salido algo complicado, puede que haya otras formas más sencillas.
Y eso es todo.
