¿Cuál es el tamaño de los lados de un octágono de 50 metros cuadrados, donde sus lados son iguales?

La formula del área de un polígono regular es

Área = P·a / 2

Donde P es el perímetro y a es el apotema

Si llamamos x a la longitud de un lado tendremos

50 = 8ax / 2

50 = 4ax

Falta que podamos expresar el apotema en función de x

Tomemos el triángulo que forma un lado y los dos radios que lo limitan

Al haber 8 el angulo el en centro de ese triángulo es 360 / 8 = 45º

Tomamos ese triángulo de modo que el lado del octógono sea la base y el ángulo de 45º está arriba. El apotema es la altura de ese triangulo. Si la trazamos el triángulo se divide en dos iguales donde la base es x/2 y el ángulo superior es 22.5º

Para calcular la altura recordamos que la fórmula de la tangente es

tg(alfa) = (cateto opuesto)/(cateto adyacente)

tg 22.5º = (x/2) / a

a = (x/2)/tg 22.5º

y con este valor vamos a la ecuación que dejábamos arriba

50 = 4ax = 4[(x/2)/tg 22.5º]x

50 = 2x^2/tg 22.5º

x^2 = 25 tg 22.5º

La tangente de 22.5 se puede calcular por fórmulas trigonométricas o con la calculadora. Si lo necesitas de la primera forma ya me lo dirás, si no uso la calculadora

x^2 = 25 · 0.41421356

Aja, veo que es la famosa raíz de 2 menos 1.

Mira, lo hago también por fórmula aunque no sé si las has dado

$$\begin{align}&tg \left(\frac A2  \right)=\frac{-1\pm \sqrt{1+tg^2A}}{tgA}\\ &\\ &\\ &\\ &tg\;22.5 =tg \left(\frac {45º}2  \right)=\frac{-1\pm \sqrt{1+1}}{1}\\ &\\ &\text{Y como es el primer cuadrante}\\ &\\ &tg\;22.5º = \sqrt 2 \;-1\end{align}$$

Bueno, sigamos con lo que estábamos

x^2 = 25 · 0.41421356

x^2 = 10.355339

x = 3.217971265 m

Luego esa es la longitud del lado