Ayuda con esta demostración

Las diagonales de un rombo son perpendiculares, Sus vectores directores también lo serán. Vamos a comprobarlo mediante el producto escalar.

<(3, -4, -1), (2, 3, -6)> = 3·2 - 4·3 + (-1)(-6) = 6-12+6 = 0

Da cero luego son perpendiculares.

Las diagonales se cortan en el punto medio dividiendo el rombo en cuatro triángulos rectángulos cuyos catetos miden media diagonal cada uno.

El cociente de los catetos sera el mismo que el las diagonales y será igual a la tangente del ángulo opuesto al cateto del numerador.

Veamos esto.

La primera diagonal mide

sqrt(3^2+4^2+1) = sqrt(9+16+1) = sqrt(26)

La segunda

sqrt(2^2+3^3+6^2) sqrt(4+9+36) = sqrt(49) = 7

La tangente del ángulo mide

tg(alfa) = sqrt(26) / 7

Calculamos alfa

alfa = arctg[sqrt(26)/7] = 36.07076865 º = 0.6295536767 rad

El ángulo de ese vértice del rombo es el doble del fel triángulo rectángulo

Ángulo menor = 72.1415373º = 1.259107353 rad

Y el otro ángulo será la mitad de 360 menos 2 veces este. O más sencillamente el suplementario, 180º - ángulo menor o Pi - ángulo menor

180 - 72.1415373º = 107.8584627º = 1.8824853 rad

Ángulo mayor = 72.1415373º = 1.8824853 rad

Y los lados son los cuatro iguales y son la hipotenusa de esos triángulos rectángulos. Aplicamos el teorema de Pitágoras a las mitades de las diagonales

$$\begin{align}&h=\sqrt{ \left(\frac {\sqrt {26}}{2}\right)^2+\left(\frac 72  \right)^2}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{26}{4}+\frac{49}{4}}=\frac{\sqrt{75}}{2}=\frac{5 \sqrt 3}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.