¿Cómo resuelvo el siguiente problema de álgebra li
Hola todo expertos, estaría muy agradecido si me ayudan con el siguiente problema:
1.Encontrar la ecuación paramétrica del plano que pasa por los siguientes puntos: P1(1,1,1) P2(1,1,0) P3(1,0,-1)
2.Encontrar el vector ortogonal(a, b, c) al plano, que pasa por el origen(utilice el producto punto o producto interno).
3.Calcule la intersección entre el plano y la línea anterior. (Iguale las dos parametrizaciones, la del plano con dos parámetros y la de la línea. De esa igualdad debería obtener un sistema lineal con tres incógnitas, los parámetros-dos por el plano y uno por la línea-. Resolviendo eso obtendrá el parámetro en el cual hay que evaluar la línea para obtener el vector intersección).
4.Calcule la norma del vector que resulte de la intesección ¿Qué significación geométrica tiene?
Desde ya muchas gracias.
1.Encontrar la ecuación paramétrica del plano que pasa por los siguientes puntos: P1(1,1,1) P2(1,1,0) P3(1,0,-1)
2.Encontrar el vector ortogonal(a, b, c) al plano, que pasa por el origen(utilice el producto punto o producto interno).
3.Calcule la intersección entre el plano y la línea anterior. (Iguale las dos parametrizaciones, la del plano con dos parámetros y la de la línea. De esa igualdad debería obtener un sistema lineal con tres incógnitas, los parámetros-dos por el plano y uno por la línea-. Resolviendo eso obtendrá el parámetro en el cual hay que evaluar la línea para obtener el vector intersección).
4.Calcule la norma del vector que resulte de la intesección ¿Qué significación geométrica tiene?
Desde ya muchas gracias.
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1 Respuesta
Respuesta de akabane89
1
1. Para hallar la ecuación de un plano, dado que tienes 3 puntos del plano tienes que hallar el vector normal haciendo el producto vectorial de dos vectores en el plano. Y como ya tienes esos puntos entonces tus vectores pueden ser P1P2 y P1P3
P1P2 = P2-P1 = (0,0,-1)
P1P3 = P3-P1 = (0,-1,-2)
Ahora producto vectorial de ambos P1P2 POR P1P3 = a la determinante de las medidas de los vectores, es muy complicado hacerlo por acá
|i j k|
|0 0 -1| = i((0*-2) - (-1*-1)) -j((0*-2) -(0*-1)) + k((0*-1)-(0*0)) = -1i
|0 -1 -2|
Entonces el vector normal es -1i o también (-1,0,0)
Ahora ya tienes tu vector normal al plano, y la ecuación general vectorial es
N*(Px-p0) = 0 esto es el producto punto o producto interno del vector normal y un vector con origen p0 y extremo px es igual a cero.
Donde px = (x, y, z) y p0 puede ser cualquiera de los 3 puntos dato del problema
es decir, si deseas saber si un punto x, y, z pertenece al plano, solo lo restas con el p0 que elegiste que pertenece al plano, y lo multiplicas con el vector normal y te saldrá cero si es que pertenece al plano.
Si deseas la ecuación paramétrica solo resuelve la ecuación vectorial.
N*(px-p0) = (-1,0,0)*((x,y,z)-(1,1,1))=0
(-1,0,0)*(x-1,y-1,z-1)=0
(x-1)*(-1)+0*(y-1)+0*(z-1)=0
1-x=0
x=1 //ecuacion paramétrica del plano.
2- Vector ortogonal a, b, c que pasa por el origen.
Entonces sabes que es un vector que pasa por el origen (0,0,0). Y sabes que el vector que buscas debe ser paralelo al vector normal del plano x=1, es decir (-1,0,0)
Entonces el vector buscado es (0,0,0)-(x, y, z) donde x, y, z es el punto que coincide con el plano.
Este vector debe ser paralelo a (-1,0,0)
Entonces
(-x,-y,-z) = s*(-1,0,0) donde s pertenece a los reales.
Las dos siguientes ya son solo consecuencias de lo que hice. Hasta luego espero te haya ayudado
P1P2 = P2-P1 = (0,0,-1)
P1P3 = P3-P1 = (0,-1,-2)
Ahora producto vectorial de ambos P1P2 POR P1P3 = a la determinante de las medidas de los vectores, es muy complicado hacerlo por acá
|i j k|
|0 0 -1| = i((0*-2) - (-1*-1)) -j((0*-2) -(0*-1)) + k((0*-1)-(0*0)) = -1i
|0 -1 -2|
Entonces el vector normal es -1i o también (-1,0,0)
Ahora ya tienes tu vector normal al plano, y la ecuación general vectorial es
N*(Px-p0) = 0 esto es el producto punto o producto interno del vector normal y un vector con origen p0 y extremo px es igual a cero.
Donde px = (x, y, z) y p0 puede ser cualquiera de los 3 puntos dato del problema
es decir, si deseas saber si un punto x, y, z pertenece al plano, solo lo restas con el p0 que elegiste que pertenece al plano, y lo multiplicas con el vector normal y te saldrá cero si es que pertenece al plano.
Si deseas la ecuación paramétrica solo resuelve la ecuación vectorial.
N*(px-p0) = (-1,0,0)*((x,y,z)-(1,1,1))=0
(-1,0,0)*(x-1,y-1,z-1)=0
(x-1)*(-1)+0*(y-1)+0*(z-1)=0
1-x=0
x=1 //ecuacion paramétrica del plano.
2- Vector ortogonal a, b, c que pasa por el origen.
Entonces sabes que es un vector que pasa por el origen (0,0,0). Y sabes que el vector que buscas debe ser paralelo al vector normal del plano x=1, es decir (-1,0,0)
Entonces el vector buscado es (0,0,0)-(x, y, z) donde x, y, z es el punto que coincide con el plano.
Este vector debe ser paralelo a (-1,0,0)
Entonces
(-x,-y,-z) = s*(-1,0,0) donde s pertenece a los reales.
Las dos siguientes ya son solo consecuencias de lo que hice. Hasta luego espero te haya ayudado
