Recta que intersecciona con un plano

Hola. Solamente quisiera saber como hallar las corrdenadas de corte de una recta (dados dos puntos con coordenadas xyz) con el plano XY por ejemplo, donde la coordenada Z será 0.
Simplemente eso.
Muchas gracias.
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1 respuesta

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Respuesta de
Como tu sabes una recta en R3 se indica con:
(x-xo)/m1=(y-yo)/m2=(z-zo)/m3
Que son dos ecuaciones (hay dos signos igual). Si quieres ver más claro que son dos ecuaciones las pondremos así:
(x-xo)/m1=(z-zo)/m3
(x-xo)/m1=(z-zo)/m3
Es decir que tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas
Si hacemos z=0 (plano xy) podemos hallar por e y
Sería:
(x-xo)/m1=-zo/m3
(y-yo)/m2=-zo/m3
es decir que:
x=-zo.m1/m3+xo
y=-zo.m2/m3+yo
Esas son las coordenadas xy del punto de intersección
Saludos
eudemo
Muchas gracias pero no entiendo el significado de m1 y m3. Si te parece lo hacemos con un ejemplo numérico a ver si lo entiendo mejor:
Punto 1: (4,2,3)
Punto 2: (-5,1,8)
Espero no sea mucho pedir.
Muy agradecido.
Muchas gracias.
Ecuación de la recta en el espacio
Una recta en el espacio queda definida por un punto y su dirección.
La dirección la da el vector llamado vector director de la recta.
El vector director V es un vector determinado por un par de puntos (cualquier par) de la recta.
Dados los puntos
P1= ( x1,y1,z1) = (4, 2, 3)
P2= ( x2,y2,z2) = (-5, 1, 8)
Formamos un vector director simplemente restando coordenadas entre los dos puntos. Es decir
La componente x del vector director es x2-x1=-5-4=-9
La componente y del vector director es x2-x1=1-2=-1
La componente x del vector director es x2-x1= 8-3=5
V = (x2-x1)i + (y2-y1)j +(z2-z1) k
V = -9 i ?j + 5k
Estos números (componentes de V) se llama números directores de la recta.
Son los que llamé m1 m2 m3 de mi respuesta anterior.
Es decir que en este caso es
m1=-9
m2=-1
m3=5
m1 es la componente x de V
(Quizás hubiera sido mejor llamarlo mx en lugar de m1)
m2 es la componente y de V
(Quizás hubiera sido mejor llamarlo my en lugar de m2)
m3 es la componente z de V
(Quizás hubiera sido mejor llamarlo mz en lugar de m3)
Una vez que tenemos los tres números directores, la ecuación de la recta (llamada ecuación simétrica de la recta) es
(x-x1)/mx=(y-y1)/my=(z-z1)/mz
que en este caso es:
(x-4)/(-9)=(y-2)/(-1)=(z-3)/5
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Nota:
Cualquier otro grupo de números proporcionales a estos también son números directores. ¿Si en vez de tomar? 9 ; -1 ; 5 tomaramos? 18 ;? 2; 10 o tomaramos -4,5;-1/2;2,5 es lo mismo. Si los elegimos de manera que el vector V tenga modulo uno, es decir sea un versor, tenemos los famosos (famosísimos) cosenos directores de la recta en el espacio.
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Entonces para hallar el punto de intersección de la recta con el plano xy hacemos, como antes z=0.
(x-4)/(-9)=(y-2)/(-1)=-3)/5
Es decir
(x-4)/(-9)=-3/5
(y-2)/(-1)= -3/5
Entonces es
(x-4)=27/5
(y-2)= 3/5
Finalmente
x=27/5+4=47/5
y= 3/5+2=13/5
Usé la ecuación simétrica de la recta porque es la más sencilla y común. Si te hace falta la ecuación paramétrica me avisas.
Estos temas están tratados en muchas paginas de la web.
Te paso un par de direcciones
http://www.geocities.com/Riturraspe/documentos/VECTORES.doc
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_director
Saludos
eudemo
Te has explicado fantásticamente bien! Me ha quedado más que claro, solamente te pido que me aclares para que puedo necesitar la "ecuación paramétrica". Un saludo y muchísimas gracias.
No es que la puedas necesitar. Simplemente las ecuaciones paramétricas son otra forma totalmente general y equivalente de representar una recta o curva en el plano o en el espacio. Consiste en agregar una nueva variable llamada parámetro que usualmente se la llama t.
En el espacio es
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
Con cada valor del parámetro t se obtiene un punto(x,y,z)
En el caso de la recta, partiendo de
(x-xo)/m1=(y-yo)/m2=(z-zo)/m3
primero igualamos todo al parámetro t
(x-xo)/m1=(y-yo)/m2=(z-zo)/m3=t
Luego tomamos las tres igualdades
(x-xo)/m1=t
(y-yo)/m2=t
(z-zo)/m3=t
Despejamos las coordenadas x,y,z obtenemos:
x = m1 t + xo
y = m2 t + yo
z = m3 t + zo
Que son las tres ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por el punto (pero, yo, zo) con los números directores m1, m2, m3 .
Como ves de una forma u otra la recta siempre esta dada por un punto
(xo;yo;zo) y los números directores m1, m2, m3
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Ya que estamos podemos darle forma vectorial
Si definimos que
P=(x;y;z) es el vector que va del origen al punto (x,y,z)
Po=(xo;yo;zo) es el vector que va del origen al punto (xo,yo,zo)
V=(m1,m2,m3) es el vector director , entonces la ecuación vectorial paramétrica de la recta es:
P = V.t + Po
Las tres formas de escribir una recta en geometría analítica ;
Las ecuaciones simétricas, las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial son equivalentes.
Saludos
eudemo
Extraordinaria explicación! Muchas gracias. Seguiré con otra pregunta relacionada en el tablón. Espero que puedas contestármela tu también.
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