Ecuaciones paramétricas de la recta tangente

El plano tangente es donde están todas las rectas tangentes

fx(2,1)(x-1) + fy(2,1)(y-2) - z + zo = 0

fx(x,y) = 3x^2·y ==> fx(2,1) = 12

fy(x,y) = x^3+4y ==> fy(2,1) = 12

luego el plano tangente es

12(x-1) + 12(y-2) - z + 10 = 0

12x + 12y - z - 26 = 0

El vector perpendicular al plano es (12, 12, -1)

Podemos tomar como base de los vectores del plano dos perpendiculares que son

(1, 0, 12) y (0, 1, 12) ya que puedes comprobar que su producto escalar con el vector del plano es o.

Por si te sirve recuerda que el vector paralelo a x del plano tangente es (1,0, fx(xo, yo)) y el paralelo a y es (0, 1, fy(x0, y0))

Las rectas del plano tangente tienen vectores que son combinación lineal de los dos

v = a(1,0,12) + b(0,1,12) = (a, b, 12(a+b))

Y su proyección sobre el plano xy, cuya ecuación es z=0 es el vector

vp = (a,b,0)

a) Para que sea paralelo al eje X debe ser b=0, tomemos a=1 y el vector de la recta será

v = (1,0,12)

y al pasar por el punto (2,1,10) las ecuaciones paramétricas serán

x = 2 + t

y = 1

z = 10 + 12t

b) Para que vp sea paralelo al eje Y debe ser a=0 y b=1 por ejemplo

v = (0,1,12)

y la ecuación paramétrica de la recta es

x = 2

y = 1+ t

z = 10 + 12t

c) Para que vp sea paralelo a la recta y = 2x-3 debe serlo a su vercor director.

El vector director de una recta dada en la forma y = ax+b es (1, a), luego el vector de la recta considerando también la coordenada z es (1,2,0)

Y para que vp seá paralelo a este debe ser a=1 y b=2, con lo cual el vector de la recta del plano tangente será

(1, 2, 12(1+2)) = (1, 2, 39)

y su ecuación será

x = 2 +t

y = 1 + 2t

z = 10 + 39t