Hola me puedes ayudar por favor, 1. Sean dos rectas en R1

Como las dos rectas son paralelas podemos ponerles el mismo vector director v

Si la recta R1 pasa por un punto P1 y la la recta R2 por otro P2 podemos escribir así sus ecuaciones vectoriales

R1: P1+ tv

R2: P2 + tv

donde v = (v1, v2, v3)

R1: x = x1 + t·v1

y = y1 + t·v2

z = z1 + t·v3

R2: x = x2 + t·v1

y = y2 + t·v2

z = z2 + t·v3

Vamos a tomar los dos puntos P1 y P2 tal que tengan la misma coordenada x, o sea x1=x2. Eso es posible siempre que v1 distinto de 0

Es decir, tomaremos dos puntos así

P1(x1, y1, z1)

P2(x1, y2, z2)

Si v1=0 haremos un planteamiento similar al que voy a usar haciendo que y1=y2. y si también es v2=0 lo haríamos haciendo que fuera z1=z2. Ya no se pueden dar más casos porque entonces sería v=0 y no sería vector director de nada.

Los planos que contienen a alguna de las rectas tienen como vector director un vector perpendicular a v

Si v =(v1,v2,v3) vamos a tomar estos dos

u=(v1,-v2, 0)

w=(v1, 0, -v3)

No cuesta nada ver que son perpendiculares a v ya que el producto escalar es 0

Tomemos el plano que pasa por P1(x1,y1,z1) con vector director u

v1(x-x1) - v2(y-y1) = 0

y el plano que pasa por P2(x1,y2,z2) con vector director w

v1(x-x1) - v3(z-z2) = 0

Y el punto (x1, y1,z2) está en los dos planos

v1(x1-x1) - v2(y1-y1) = v1·0 - v2·0 = 0 - 0 = 0

v1(x1-x1) - v3(z2-z2) = v1·0 - v3·0 = 0 - 0 = 0

Luego la intersección de los dos planos no es vacía.

Y como te decía, si v1=0 se tomaban puntos (x1,y1,z1) y (x2,y1,z2) y los vectores

u = (-v1, v2, 0)

w = (0, v2, -v3)

los planos serán

-v1(x-x1) + v2(y-y1) = 0

v2(y-y1) -v3(z-z2) = 0

Y el punto (x1, y1, z2) pertenece a ambos.

y si v1=v2=0 la rectas serán

R1: x = x1

y = y1

z = z1 + t

R2: x = x2

y = y2

z = z2 + t

tomemos los planos

x - x1 = 0

y - y1 = 0

Y cualquier punto de la forma (x1, y1, t) pertenece a los dos.

Y eso es todo, espero que la demostración que te pedían fuera algebraica ya que la geométrica salta a la vista.