Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen y cuyos centros están en el eje x.

Lo plantearía de este modo, comenzando con la ecuación de la Circunferencia:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Al estar el centro sobre el eje x:  b=0;

Además, si tenemos el punto (0; 0) esto hará que a=r.

Reescribo:  (x-r)^2 + y^2 = r^2

Derivo:  2(x-r)dr + 2ydy = 2rdr;  simplifico y reagrupo:

ydy = (r + r – x) dr; 

ydy = (2r-x)dr; 

Que puede ya ser tu respuesta, al tener y en función de x, para cualquier valor de r (lo que haría la “familia de curvas”).

Podemos resolver la ED, con lo que quedaría:

(1/2) y^2 = r^2 – xr + C;  con la condición (0; 0):

0 = 0 – 0 + C, con lo que C=0, entonces:

ydy = (r + r – x ) dr;  ydy = rdr + (r-x)dr;  integro:

(1/2)y^2 = (1/2)r^2 + (1/2) (r-x)^2 + 0;

(x-r)^2 + y^2 = r^2, quedando la fórmula inicial.