Quiero saber si la siguiente expresión es una Ecuación lineal
Quisiera saber si la expresión es una ecuación lineal y porque es una ecuación lineal en caso que si lo sea.
1 Respuesta
Si es lineal. Como definición, una edo en general es lineal si se puede escribir como
$$\begin{align}&a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots + a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y = f(x)\end{align}$$Como puedes ver, una EDO es lineal si se puede escribir como sumas de (en general) derivadas. Puedes ver que en ningún momento la función incógnita (en este caso la y) no puede estar elevado al cuadrado: y^2, no pueden haber términos de la forma sin(y), no puede haber productos de la forma y*y'. Solo pueden tener estos términos sumados, y como mucho estar multiplicados por términos que dependan de tu variable independiente, en este caso la x.
Por ejemplo, estas no son lineales
$$\begin{align}&y' = \sin y\\&y' y= x^2\\&y'^2 = e^x\\&\frac{y'}{1+y''} = x\end{align}$$
Las ultimas dos si son por cierto. Que me las inventé de cabeza ...
en este caso f(x) es 2 e^-x y dy / dx es igual a escribir y' por eso al escribirlo de la forma general cumple que es lineal.
en los ejemplo que mencionas si entiendo que las dos primeras no son lineales el sin y, y x^2.
en le caso de la penúltima se tiene y' ^2 = e^x esta es lineal aunque esta elevado la diferencial al cuadrado ?
$$\begin{align}&2\end{align}$$
Nada que puse si cuando era no. Efectivamente, con el despeje adecuado tanto la penúltima como la última son lineales transforman en edos lineales.. Y como bien dices, la edo que colocas es lineal
