¿Cómo hacer Área en un ángulo entre los dos lados cuando son iguales, con longitud , de un triángulo isósceles es θ?.
Área El ángulo entre los dos lados iguales, con longitud s, de un triángulo isósceles es θ.
a) Demostrar que el área del triángulo se obtiene mediante A = 1/2 s^2 sen θ.
b) Si Oestá creciendo a razón de 1/2 radián por minuto, encontrar la razón de cambio del área cuando θ = π/6 y θ= π/3.
c) Explicar por qué la razón de cambio del área del triángulo no es constante, a pesar de que dθ/dt es constante.
2 Respuestas
Dividamos al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos simétricos y razonemos el Área de uno de los triángulos (luego multiplicamos por 2 y tenemos el área total del isósceles).
Llamemos h al adyacente (por altura); b/2 al opuesto (por mitad de base), s al radio vector (que es constante) y O al ángulo.
A=(b/2) * (h) * (1/2); para el área del triángulo rectángulo.
Sen O = (b/2) / s; b= 2s * Sen O;
Cos O = h/s; h = s * Cos O; reemplazo en el área:
A = [(2s*Sen O ) / 2 ] * (s * Cos O) * (1/2);
A = (1/2) * s^2 * (Sen O * Cos O); que es el área de cada triángulo rectángulo;
El área del triángulo isósceles será el doble:
A(isósceles) = s^2 * (Sen O * Cos O)
Pero como: 2*SenO * CosO = Sen (2O); y 2O es el ángulo del isósceles: θ
A (isósceles) = (1/2) * s^2 * Sen θ; que es tu primera consigna.
dA / dθ = (1/2)*s^2 * cos θ; (atención aquí: s es una constante; θ es la variable).
Si θ = Pi / 6; (o 30°): dA / dθ = (1/2) * s^2 * (1/2); dA/dθ = s^2/4;
Si θ = Pi / 3; (o 60°): dA / dθ = (1/2) * s^2 * V3 / 2; o: (1/4) * s^2 * V3; siendo V3 raíz cuadrada de 3.
Vemos que el Área no varía linealmente con el ángulo porque la razón de cambio del área es función del Seno del ángulo y no del ángulo linealmente.
Tener en cuenta que la longitud de los lados iguales del triángulo es constante y lo que varía es el ángulo entre ellos. Igualmente, es confuso porque al principio pareciera que el ángulo es igual al área (corroborar la primera frase).
Dividís el triangulo por la vertical y te quedan triángulos rectángulos iguales.
El area de cada uno = base x altura/2 = s sen (theta/2) x s cos ( theta/2)/2
Area total = s^2 sen ( theta/2) cos ( theta/2) = s^2 / 2 {sen ( theta)}
dA/dt = dA/d theta x d theta/ dt
dA/d theta = s^2 / 2 { cos theta}
dA/dt = s^2 /2 {cos theta} . 0.5 rad/min.
Para angulo = pi/6 y pi/3 lo hallas en cada caso resolviendo la expresión de arriba.
El cambio de área no es constante con el cambio de angulo porque la superficie barrida depende de s^2. O sea no es lineal.
El cambio de área no es constante con el cambio de angulo porque la superficie barrida depende del seno del angulo theta. O sea no es lineal.
Gracias por tu desarrollo Norberto. Al final yo había anotado mal, porque el valor de es es una constante. El que varia es el angulo a través de la función seno. Ya lo corregí. Sdos. - albert buscapolos Ing°