En la siguiente figura, el cuadrado exterior tiene lados que miden 24cm y los lados del rectángulo interior cumplen que b/c=1/3
Determina el valor del área sombreada en cm2( centímetros cuadrados)
3 respuestas
En la siguiente figura, el cuadrado exterior tiene lados que miden 24cm y los lados del rectángulo interior cumplen que b/c=1/3
Si b/c = 1/3 del área total, entonces el área sombreada es igual a 2/3
Si el área total = 24 cm * 24 cm
Área total = 576
Área sombreada (2/3) = 576 * 2 / 3 = 384
Determina el valor del área sombreada = 384 cm cuadrados.
Primero pongamos ese cuadrado en un sistema de coordenadas,
Ese 16.97 en realidad es 12Raiz(2) (si usás Pitágoras podés verificar que los lados del cuadrado quedan de 24).
Que los lados del rectángulo b, c estén en proporción 1:3 lo que indica es que si el lado b mide 1, el c debe medir 3, si b mide 2, c debe medir 6 y en general si b mide 'R', c debe medir 3R
Ahora veamos los vértices del rectángulo, los mismos deben ser:
P1 = (3/2R, 1/2R)
P2 = (3/2R, -1/2R)
P3 = (-3/2R, -1/2R)
P4 = (-3/2R, 1/2R)
Fijate que si calculás las medidas de esos segmentos de ese modo, quedan en la proporción 1:3 que te están pidiendo.
Lo otro que tenemos que ver es cual es ese 'R', tal que pertenezca al lateral del cuadrado y ahí está la utilidad de haber puesto la imagen en un sistema de coordenadas.
Si analizamos, por ejemplo, la recta que pasa por los puntos A, B, vemos que la ecuación es
y = -x + 12Raiz(2)
Para que el punto P1 pertenezca a esa recta, debe pasar que
1/2R = - (3/2R) + 12Raiz(2)
2R = 12Raiz(2)
R = 6Raiz(2)
Por lo tanto los puntos del rectángulo serán:
P1 = (9Raiz(2), 3Raiz(2))
P2 = (9Raiz(2), -3Raiz(2))
P3 = (-9Raiz(2), -3Raiz(2))
P4 = (-9Raiz(2), 3Raiz(2))
Por lo que los lados de ese rectángulo medirán:
b = |P4 - P3| = |(-9Raiz(2), 3Raiz(2))-(-9Raiz(2), -3Raiz(2)))| = |(0,6Raiz(2))| = 6Raiz(2)
c = |P1 - P4| = |(9Raiz(2), 3Raiz(2))-(-9Raiz(2), 3Raiz(2))| = |18Raiz(2),0)| = 18Raiz(2)
Area del rectángulo = b*c = 6Raiz(2) * 18Raiz(2) = 216
Por lo que el área sombreada será la del cuadrado menos el rectángulo = 24^2 - 216 = 360 cm^2
Salu2
no entiendo nada
no se por que Pitágoras?
Pitágoras solo para que confirmes que el lado del cuadrado te queda en 24 (solo verificación, no es necesario que lo hagas)
Como ves, tenés 3 respuestas posibles encaradas de distinta manera y con resultados distintos. Me gustaría que cuando tu profesor te de la respuesta nos la compartas :-)
si verdad claro que si
Voy a plantear la solución de albert, pero ajustando las cuentas (tal vez quede más sencillo)
Nos dan la relación c = 3b
Triángulos grandes (2): base * altura / 2 (* 2) = base * altura = c (12V(2) - b/2)
Triángulos chicos (2): base * altura / 2 (* 2) = base * altura = b (12V(2) - c/2)
Rectángulo: base * altura = b * c
Dejo las ecuaciones anteriores expresadas en función de 'c' usando la relación que nos dan:
T. Grandes: 3b (12V(2) - b/2)
T. Chicos: b (12V(2) - 3/2 b)
Rectángulo: b * 3b = 3b^2
Y sabemos que la suma de todo lo anterior es igual al cuadrado, o sea
T. Grandes+ T. Chicos + Rectángulo = Area Cuadrado
3b (12V(2) - b/2) + b (12V(2) - 3/2 b) + 3b^2 = 24^2
Ahora son cuentas para hallar b
36V(2)b - 3/2 b^2 + 12V(2)b - 3/2 b^2 + 3b^2 = 576
48V(2)b = 576
b = 6V(2)
por lo que c=3b = 18V(2)
Y fijate que esos son los valores que me dieron a mí, por lo que el área sombreada queda igual.
Creo que esta nueva explicación es un poco más sencilla de entender.
Respetando la relacion c= 3b. podes hacer lo siguiente:
Area sombreada = 2 Area triangulos chicos + 2 Area triangulos grandes.
Area triangulos chicos = 2 ( 24V2/2 - b/2) c = (24V2 - b) c
Area triangulos grandes = 2( 24 V2 / 2 - c/2) b = ( 24V2 - c) b
Area cuadrado = 24 ^2
Area de rectangulo interior= Area del cuadrado - Area de los triangulos sombreados = 2/3 c^2
luego ... 24^2 - (24V2 - b) c - ( 24V2 - c) b - 2/3 c^2 = 0...( tene en cuenta b= 0.66 c)
24^2 - 32V2 c - 0.66 c^2 = 0
Y te toca resolver la cuadratica.
A mi me esta dando b= 11 cm. .........................c= 3.7 cm.
Luego el Ares sombreada valdria = 24^2 - ( 11 * 3.7) = 576 - 40.7 = 535.3 cm^2
Sandra... Te confirmo la solución de Gustavo como la correcta.