Problemas de optimización en distintos contextos

Área máxima.

$$\begin{align}&p = 400m\\&2b + 2h = 400m\\&a = b  * a\\&f(b,h) = b*h\\&\\&despejamos \ b\\&2b + 2h = 400m\\&2b = 400 -2h \\&b = \frac{400-2h}{2}\\&b = 200 - h\\&\\&Sustituimos\ b\\&f(b,h) = b*h\\&f(h) = (200 - h) * h\\&f(h) = 200h - h^2\\&\\&Derivamos\\&f(h) = 200h - h^2\\&0 = 200 - 2h\\&2h = 200\\&h = \frac{200}{2}\\&h = 100\\&\\&sustituimos \ h\\&2b + 2h = 400m\\&2b + 2(100) = 400m\\&2b + 200 = 400m\\&\\&Despejamos \ b\\&2b = 400 - 200\\&b = \frac{200}{2}\\&b = 100\\&\end{align}$$

El área máxima = 100 * 100 = 10,000 metros cuadrados.

Entonces las dimensiones del terreno que le dan el área máxima:

base = 100 y la altura = 100

Te paso la solución, ya que Dante omitió un pequeño detalle y es que el terreno está junto al río, lo que hace que uno de los lados no tengas que cercar.

$$\begin{align}&P =400 = 2b + a \\&\to a = 400-2b ........(1)\\&\text{Ten en cuenta que a o b es indistinto, pero hay uno de los lados que tendrás doble y el otro solo uno, ya que el otro lado lo cubre el río}\\&A(a,b) = a \cdot b\\&A(b) = (400-2b)b = 400b - 2b^2\\&A'(b) = 400 - 4b\\&A''(b) = -4 \text{  (Como es negativa para todo b, el valor que hallemos será máximo)}\\&A'(b) = 0 = 400-4b\\&\to b = 100\\&Reemplazando\ en\ (1)\\&a = 200 \text{  (Paralela al río)}\\&A = b \cdot a = 200 \cdot 100 = 20000 (área\ máxima)\end{align}$$

Salu2