¿Cómo puedo determinar o comprobar si un número es finito o infinito?
Las calculadoras científicas (aparentemente) no indican si el contenido decimal de un número es finito o infinito. He aquí algunos ejemplos:
(Equat.1)
$$\begin{align}&\pi=3.1415926535897932\\&\pi=\mathbb{I}\infty\end{align}$$(equat. 1)* Aunque seguramente por cultura sabemos que el valor de π es infinito e irracional, pero si no fuese así, ¿cómo podríamos demostrar si se trata de un número finito con una extensa cantidad de decimales, o si realmente es un número infinito? Es decir, la calculadora no parece indicar que el número es infinito, pues enseña una cantidad contable de decimales.
(equat. 2)
$$\begin{align}&\frac{5}{\tan30^\circ}=8.6602540378387729\end{align}$$(equat. 2)* Aquí la calculadora apunta que la respuesta a esta ecuación es 8.6602540378387729; sin embargo existe la posibilidad de que 6602540378387729 sea el contenido decimal contable de 8 o, que 8.6602540378387729 sea un pequeño fragmento del infinito número con el que es posible trabajar. ¿Cómo puedo saber de qué se trata? ¿Existe alguna formula para esto?
(equat. 3)
$$\begin{align}&370.1367114722537621859\end{align}$$(equat. 3)* Y por si aún no me hago entender concretamente. ¿Es posible validar la calificación de este número clasificándolo como finito o infinito 370.1367114722537621859? ¿Cómo?
Bueno primero que nada, el término correcto es número irracional. Si es cierto que tienen "infinitos" decimales que no se repiten, pero no significa que sea infinito. Infinito es algo que es muy muy grande, pi no lo es, pi es 3.14... tiene un valor pequeño. Además usar la palabra "infinito" pues lleva al problema de que 1/3 es también "infinito".
Efectivamente con una calculadora no se puede demostrar que un número sea irracional. Es mas, con ningún ordenador se podría. ¿Cómo se hace? Pues como todo en matemáticas, habría que demostrarlo rigurosamente, de tal forma que no haya ninguna duda. Demostrar que es un número es irracional o no en general es bastante difícil, no hay un procedimiento estándar. Con tan30 es más fácil demostrarlo porque ese valor tiene una raíz y es muy fácil (casi directo) demostrar que es irracional. En el caso de pi conozco un par de formas de demostrarlo pero no son para nada triviales. La matemática que se utiliza no es compleja, si conoces de cálculo 1, y lo manejas un poco bien puedes llegar a entenderlo. Pero los pasos que usan son todo menos obvios.
La idea es de asumir en un principio que pi es racional, por tanto se puede escribir como una fracción, luego haces unos trucos bastante inteligentes y luego al final llegas a un resultado falso. Es algo que proviene de la lógica (filosofía), si todos los pasos que has hecho son correctos, pero aún así has llegado a un resultado falso, la única opción es que la hipótesis era falsa.
En la equat 3, no se puede decir nada. Así como lo has dicho se dice que es racional, normalmente se indica con unos puntos suspensivos para continuar que indica. Pero sin ningún contexto(de donde se obtuvo, por ejemplo), no se puede decir nada de el
¿Es entonces posible afirmar que (si no se tiene la certeza de que la parte decimal de un número) los resultados obtenidos con números decimales serán aproximaciones (≈)?
En general, supongo que si. Claro, si trabajas con números enteros exclusivamente y nos olvidamos por un momento las divisiones, pues el resultado exacto es el que sea. Pero luego también tenemos casos como pi, ¿cuál es su valor exacto? Imposible de determinar, si necesitas hacer operaciones con el o lo que sea usarás una expansión decimal que será SIEMPRE una aproximación. Si quieres un resultado "exacto", usas simplemente el símbolo pi.
Si tu pregunta viene a que sucede en la vida real... pues en ese caso todos los valores medibles (antes ahora y en un futuro) serán siempre aproximaciones porque necesitaríamos un aparato de "infinita" precisión (que no existe claro y no lo hará)
