Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine sus elementos principales y grafique.

$$\begin{align}&9x^2+4y^2-18x-27=0\\&\end{align}$$

Por ser del mismo signo los coeficientes cuadráticos y de diferente valor es una elipse veamos 

1)-Ecuación normal

$$\begin{align}&9x^2+4y^2-18x-27=0\\&9(x^2-2x+(\frac{2}{2})^2)+4y^2-27-9=0\\&\frac{9(x-1)^2}{36}+\frac{4y^2}{36}=\frac{36}{36}\\&\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y}{9}=1\end{align}$$

Coordenadas del centro (h,k)=(1,0)

2)-Longitud del semieje mayor 

$$\begin{align}&a^2=9\rightarrow a=3\end{align}$$

3)-Longitud del semieje menor

$$\begin{align}&b^2=4\rightarrow b=2\end{align}$$

4)-Distancia del centro a cada foco 

$$\begin{align}&c^2=a^2-b^2\rightarrow c=\sqrt{5}\end{align}$$

Los vértices y focos de la elipse 

v(1,0+a)=v(1,0+3)=v(1,3) y el foco f(1,0+√5)=f(1,√5)

v'(1,0-a)=v'(1,0-3)=v'(1,-3) y el foco f'(1,0-√5)=f'(1,-√5)

Longitud del lado recto 

$$\begin{align}&\frac{2b^2}{a}=\frac{2\cdot4}{3}=\frac{8}{3}\end{align}$$

Su gráfica 

Disculpa por lo de la gráfica doble

Ecuación numero 2

$$\begin{align}&y^2+4y-4x+16=0\end{align}$$

El termino de la variable x de grado 2 es cero podemos decir que es una parábola 

1)-Ecuación general

$$\begin{align}&y^2+4y+4x+16=0\\&y^2+4y+(\frac{4}{2})^2-4x+16-4=0\\&(y+2)^2=4x-12\\&(y+2)^2=4(x-3)\\&\end{align}$$

Como 4p=4 de donde p=1>0,la parábola abre hacia la derecha 

2)-Coordenadas del vértice v(h,k)=v(3,-2)

3)-Coordenadas del foco f(3+p,-2)=f(3+1,-2)=f(4,-2)

4)-Ecuación de su directriz x=3-1 de donde x=2

5)-Longitud del lado recto |4p|=4

Su gráfica

Ya te envió la gráfica de esta parábola cuyo eje es paralelo al eje x, ya que mi servidor experimenta pequeños inconvenientes respecto a cargar la imagen

Gracias, de igual manera espero las demás ecuaciones faltantes por favor

Lamento lo de las gráficas, información de la cónica numero 3

$$\begin{align}&x^2-y^2+4x+2y-1=0\end{align}$$

1)-Ecuación normal

$$\begin{align}&x^2-y^2+4x+2y-1=0\\&x^2+4x+(\frac{4}{2})^2-(y^2-2y+(\frac{2}{2})^2)=1+4-1\\&\frac{(x+2)}{4}-\frac{(y-1)}{4}=\frac{4}{4}\\&\frac{(x+2)^2}{4}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\end{align}$$

Cuyo centro es (h,k)=(-2,1)

2)-Longitud del semieje transverso

$$\begin{align}&a^2=4\rightarrow a=2\end{align}$$

3)-Longitud del semieje conjugado 

$$\begin{align}&b^2=4\rightarrow b=2\end{align}$$

4)-Distancia del centro a cada uno de los focos 

$$\begin{align}&c^2=a^2+b^2\\&c^2=4+4\\&c=2\sqrt{2}\end{align}$$

5)-Los vértices son 

V(-2+a,1)=V(-2+2,1)=V(0,1) y V'(-2-a,1)=V'(-2-2,1)=V'(-4,1)

6)-Los focos 

F(-2+c,1)=F(-2+2√2,1) y el otro es F'(-2-c,1)=F'(-2-2√2,1)

7)-Las directrices 

$$\begin{align}&\frac{x+2}{2}+\frac{y-1}{2}=0\\&2x+4+2y-2=0\\&2x+2y+2=0\\&x+y+1=0\end{align}$$

Y la otra es

$$\begin{align}&\frac{x+2}{2}-\frac{y-1}{2}=0\\&2x+4-(2y-2)=0\\&2x-2y+6=0\\&x-y+3=0\end{align}$$

Longitud del lado recto

$$\begin{align}&\frac{2b^2}{a}=\frac{2\cdot4}{2}=\frac{8}{2}=4\end{align}$$

Cónica numero 4

$$\begin{align}&x^2+2y-10x+23=0\end{align}$$

Podemos observar en ella que el termino de la variable "y " de grado 2 es cero, deducimos que es una parábola 

1)-Ecuación normal 

$$\begin{align}&x^2+2y-10x+23=0\\&x^2-10x+(\frac{10}{2})^2+2y+23-25=0\\&(x-5)^2=-2y+2\\&(x-5)^2=-2(y-1)\end{align}$$

Cuyo vértice es (h,k)=(5,1)

Como 4p=-2 de donde p=-2/4=-0.5<0, por ello la parábola hacia abajo 

2)-El foco es

F(5,1+(-0.5))=F(5,0.5)

3)-Ecuación de la directriz es

y=1-(-0.5) de donde y=1.5

4)-La longitud del lado recto es 

|4p|=2

Voy a intentar enviarte las gráficas