Encontrar la solución de la siguiente ecuación con la condiciones iniciales

Considerando la ecuación, encontrar la solución de la siguiente ecuación con la condiciones si las condiciones iniciales son las siguientes

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Es una edo de grado superior de coeficientes constantes, asumes que una solución es de la forma e^(rx), al sustituir esa solución en la ec diferencial y derivando obtienes

e^(rx)(r^2-3r+3)=0

Buscas que esa expresión sea 0 para todo valor de x, para que eso ocurra el polinomio de la derecha debe ser 0.

r^2-3r+3=0

$$\begin{align}&r_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-12}}{2}=\frac{3 \pm \sqrt{3}i}{2}\end{align}$$

Son soluciones complejas, y bueno usando un poco de numeros complejos y la relacion entre la exponencial y senos y cosenos obtienes que la solucion es entonces

$$\begin{align}&x(t)=C_1e^{-\frac{3}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+C_2e^{-\frac{3}{2}t}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)\end{align}$$

Sustituyes las condiciones iniciales y obtienes las constantes

He notado que al principio he escrito e^rx pero es e^rt. Además en la solución la potencia es e^3/2t sin el signo negativo en ambos casos

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