Como calcular la componente vectorial y componente Ortogonal?

Si tienes un plano de la forma

ax+by+cz+d=0

Un vector normal( perpendicular )al plano es (a, b, c). Para hallar un vector paralelo al plano es lo mismo que hallar un vector perpendicular al vector normal.

Cómo no nos piden nada. Pues para simplificar y como podemos colocar cualquier vector lo que vamos a hacer es para ese vector normal elegir una componente cualquiera y hacerla 0. (0, d, e)

Yo voy a elegir la componente x(no hay una razón en particular). Recuerda que dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0(al hacer una componente 0, el cálculo se simplifica)

Tenemos (a,b,c).(0,d,e)

Tenemos que hallar d y e. Es fácil ver qué para que el producto escalar sea 0 hay dos vectores posibles

(0,c,-b) y (0,-c,b)

Esos son dos vectores perpendiculares al vector normal al plano, es decir, vectores paralelos al plano ax, by, cz+d=0