Aplica el método de Newton para aproximar el número dado correcto hasta 8 cifras decimales:

El método de newton raphson es un método que nos ayuda a calcular las raíces de un polinomio.

Quieres hallar esas raíces, entonces di que su valor (Desconocido) es igual a x

$$\begin{align}&x=\sqrt[5]{31}\\&x^5-31=0\\&f(x)=x^5-31\end{align}$$

Ese va a ser la funcion que vamos a usar

El metodo de newton nos dice

$$\begin{align}&x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\end{align}$$

Primero dale un valor aleatorio a x_n, preferiblemente un valor cercano a lo que creas sea la solucion, con ese valor hallaras el valor de x_n+1 , luego aplicas la formula(usando como x_n el valor que te dio anteriormente) tantas veces sea necesario (en tu caso hasta que la fomula de un valor donde los 8 primeros decimaes sean iguales al proceso anterior)

Muchas gracias por tu respuesta @alejandro: 

Siguiendo las instrucciones de la indicación que antecede, entonces quedaría para  aproximar el número dado correcto hasta 8 cifras como:

$$\begin{align}&f(8)=8^5-31\\&f(8)=32768-31\\&f(8)=32737\\&\\&Para \  \sqrt[10] {1000}\\&x=\sqrt[10] {1000}\\&x^{10}-1000=0\\&f(x)=x^{10}-1000\\&f(8)=8^{10}-1000\\&f(8)=1,073.740.824\\&\\&\end{align}$$

Tienes que hallar la función, para el primer caso es f(x)=x^5-31, a esa función la hallas su derivada. Y aplicas la fórmula que te di arriba. Hago dos veces el procedimiento para que te hagas la idea

Una recomendación es que el valor que tomes al principio sea cercano al resultado (si eliges un valor lejano, va a tener que aplicar el procedimiento más veces para obtener el resultado que quieres

Raíz quinta de 31 hmm, pues bueno se que 2^5=32, por lo que el valor tiene que ser un numero cercano al dos y más pequeño claro

$$\begin{align}&f(x)=x^5-31\\&f'(x)=5x^4\\&x_0\\&x_{1}=x_0-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\&\\&x_{1}=2-\frac{1}{80}\\&x_{1}=1,9875\\&\\&x_2=1,9875-\frac{0.01242212}{78.018671997}\\&x_2=1.98734078\\&\\&x_3=1.98734078-\frac{0.00000198}{77.99367448}\\&x_3=1.98734075\end{align}$$

Entonces, lo que haces es el valor que te dio anteriormente lo introduces en la formula que te di arriba, que es colocar el valor y le restas la division entre la funcion donde sustituyes las x por ese valor dividido entre la derivada (donde tambien sustituyes el valor).

Ese te va a dar un nuevo resultado, y haces el procedimiento tantas veces, hasta que los decimales que te salgan se repitan en tu caso 8 decimales. Hasta donde lo deje yo hay 7 decimales, así que quizás con 1 o dos veces más que repitas el procedimiento tendrás el valor.

Haces lo mismo para hallar la otra raíz

$$\begin{align}&x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\end{align}$$

Olvide cambiar los x_n  de la fraccion, pero los resultados estan bien