Como resolver sistemas de ecuaciones de fracciones parciales irreductibles cuadráticas
El ejercicio es el siguiente
$$\begin{align}&\:\int \frac{1}{x\left(x^2+1\right)}\\&\\&\frac{1}{\:x\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+c}{x^2+1}\\&\\&1=A\:\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)x\\&\\&1=A\:x^2+A+Bx^2+Cx\\&\\&1=x^2\left(A+B\right)+A+Cx\\&\\&\end{align}$$Hasta ese punto entiendo a la perfección lo que se hizo pero después para encontrar los valores de A B C no se como proceder estoy un poco oxidada en ese tema en mi libro se toma de esta manera:
$$\begin{align}&Igualdad-de- polinomios\\&A+B=0\\&C=0\\&A=1\\&\\&\end{align}$$Asi que mi pregunta como han llegado a esos valores si es posible explicarme ese procedimiento. También escuche que se puede resolver en las calculadoras haciendo uso del modo 5-2 pero como se tendrían que meter los valores o como se debería proceder.
2 Respuestas
Ok entonces tenemos
1=(A+B)x^2+A+Cx.
Nosotros buscamos que ambos lados de la igualdad sean... iguales. Escribamos esto de otra forma equivalente
0x^2+0x+1=(A+B)x^2+Cx+A
Para que ambos lados sean iguales, los números que acompañan a las x que estén a la misma potencia deben ser iguales en ambos lados
Entonces A+B=0
C=0
A=1
Por lo que B=-1 y ahora sustituir esos valores arriba
Hay que tener en cuenta que al hacer
$$\begin{align}&\dfrac{1}{x(x^2+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\\&\\&\text{No se está resolviendo una ecuación polinómica}\\&\text{si no se está buscando un polinómio. La forma }\\&\text{de escribir dicha comparación es: }\\&\\&\dfrac{1}{x(x^2+1)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\\&\\&\text{No es una relación de igualdad usual en la que derivaría }\\&\text{a una ecuación sino es un tipo de comparación.}\\&\\&P(x)=0 \text{, sería una ecuación}\\&P(x)\equiv 0, \text{ significa que $P$ es un polinomio nulo} \end{align}$$Solo quería acotar algo más de lo que ya resolvió Alejandro Salazar.