Mate Calculo Resolución de Limites
Llevo un buen rato intentando resolver el siguiente limite sin éxito alguno.
$$\begin{align}&\lim _{x\to \:a}\left(\left(2-\frac{x}{a}\right)^{\tan \left(\frac{\pi \:x}{2a}\right)}\right)\end{align}$$Si es posible solucionarlo paso a paso se debe hacer uso de la ley de L'
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Es una indeterminación del tipo 1 a la infinito que, a priori, no se resuelve con L'H, así que hay que transformar la expresión, para que si pueda resolverse
$$\begin{align}&\lim_{x \to a} \Bigg(\bigg(2-\frac{x}{a}\bigg)^{tan(\frac{\pi x}{2a})} \Bigg) = L\\&\text{Aplicando logaritmo a ambos lados...}\\&Ln \Bigg( \lim_{x \to a} \Bigg(\bigg(2-\frac{x}{a}\bigg)^{tan(\frac{\pi x}{2a})} \Bigg) \Bigg) = Ln(L)\\& \lim_{x \to a} Ln\Bigg(\bigg(2-\frac{x}{a}\bigg)^{tan(\frac{\pi x}{2a})} \Bigg) =\\& \lim_{x \to a} tan \bigg(\frac{\pi x}{2a}\bigg)Ln\bigg(2-\frac{x}{a}\bigg) =\\&\text{Ahora es del tipo }0 \cdot \infty\\&\text{Pero la podemos convertir fácilmente a }\frac{\infty}{\infty} \text{ para poder aplicar L'H}\\& \lim_{x \to a} \frac{Ln\bigg(2-\frac{x}{a}\bigg)}{\frac{1}{tan \bigg(\frac{\pi x}{2a}\bigg)}} \\&\text{Ya está, ahora sí podemos usar L'H}\\& \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{x-2a}}{\frac{\pi}{2a sen^2(\frac{\pi x}{2a})}}\to \frac{\to -1}{\to \frac{\pi}{2a}} \to -\frac{2a}{\pi}\\&\text{Pero eso en realidad no es el límite (L), sino que es el }Ln(L) \text{ por lo tanto:}\\&Ln(L) = -\frac{2a}{\pi}\\&L = e^{-\frac{2a}{\pi}}\end{align}$$Salu2