Escribir una ecuación de una tangente a una curva en la forma df/dx en un punto
Tengo una duda con el inciso de un ejercicio, el ejercicio completo dice lo siguiente:
(a) Hallar las pendientes en los puntos (1,3), (-1,1) de las tangentes a la gráfica de f, siendo
$$\begin{align}&f(x)=1+x+x^2\end{align}$$(b) Demostrar que las tangentes a la curva
$$\begin{align}&y=x^3\end{align}$$en los puntos (1,1), (-1,-1) son paralelas.
(c) Escribir la ecuación de la tangente a la curva y = f(x) dadas en (a) y (b) en el punto (x1, f(x1)) en notación df/dx.
El inciso (c) me causa confusión, comprendo cómo escribir la ecuación de la tangente a la curva y=f(x), pero no cómo hacerlo en dicha notación con el punto (x1, f(x1)).
1 Respuesta
Las pendientes no ofrecen dificultad ya que se tratan de la primera derivada (dy/dx).
a) dy/dx = y ' (x) = 2x+1;
y ' (1) = 3; y ' (-1)= (-1)
b) y ' (x) = 3x^2;
y ' (1) = 3; y ' (-1) = 3; misma pendiente son paralelas.
c) Siendo y ' (x) = dy/dx, y siendo esta la derivada o pendiente de la tangente, partamos de la ecuación de la recta: y = px + b; siendo p=pendiente=y ' (x) = dy/dx, y b la ordenada al origen.
Para a) x=1; y=3; dy/dx = 3;
3 = (3*1) + b; despejo b: b=0;
y=3x;
Corroboramos que el punto (1; 3) pertenece a la recta y a la parábola; y al ser la pendiente en ese punto (y ' (1)=3), tenemos el resto de los datos para desarrollar esta recta.
Para b) x=1; y=1; dy/dx = 3x^2; y ' (1) = 3;
Recta= 1 = 3*1 + b; despejo b: b= 1-3; b= (-2);
y = 3x - 2. Corroboramos que (1; 1) pertenece a la recta y a la parábola cúbica.
