Transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
¿Me pueden ilustrar cómo se resuelve esta ecuación diferencial empleando la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial?
$$\begin{align}&\frac{dy}{dt}+y=te^{-1} ; y(0)=1\end{align}$$
Voy a asumir que ya conoces cuales son las transformadas . Voy a poner el resultado de fracciones parciales directamente puesto que no es el propósito de la pregunta, pero si lo necesitas me dices
$$\begin{align}&y'+y=te^{-1}\\&sY(s)-y(0)+Y(s)=\frac{e^{-1}}{s^2}\\&(s+1)Y(s)=\frac{e^{-1}}{s^2}+1\\&(s+1)Y(s)=\frac{1+es^2}{es^2}\\&Y(s)=\frac{1+es^2}{es^2(s+1)}\\&\\&Fracciones \ parciales\\&Y(s)=\frac{1}{es^2}+\frac{1+e}{e\left(s+1\right)}-\frac{1}{es}\\&Y(s)=\frac{1}{e}\frac{1}{s^2}+\frac{1}{e}\frac{1}{(s+1)}+\frac{1}{s+1}-\frac{1}{e}\frac{1}{s}\\&Y(s)=\frac{1}{e}t+\frac{1}{e}e^{-t}+e^{-t}-\frac{1}{e}\end{align}$$
Hola Alejandro, muchas gracias por tu respuesta. En tu respuesta la parte que dice "Fracciones parciales" hace parte de la respuesta del enunciado?
La verdad entiendo poco de este tema.
Tenemos Y(s)=(1+es^2)/(es^2(s+1))
Para resolver estos ejercicios siempre (o al menos casi todas las veces) debes separar esas fracciones aplicando el método de fracciones parciales. Una vez aplicado ese método obtengo lo que esta justo debajo del titulo(fracciones parciales). Lo que viene debajo es la continuación del ejercicio que es solo ver cuales son las transformadas inversas (eso si, fíjate que separe las fracciones, por ejemplo el (1+e)/e(s+1) lo escribí como 1/e(s+1)+e/e(s+1), esta segunda las e se cancelan). La inversa de 1/s^2 es t 1/(s+1) se puede escribir como 1/(s-(-1)) que tiene de inversa e^-t
No se si me di a explicar, lo hice escrito porque me es más rápido (y estoy haciendo el otro ejercicio que pediste), pero si necesitas que lo explique de nuevo con mas detenimiento, no hay problema, te ayudo. También te puedo buscar una página que tenga las transformadas escritas(al menos las más importantes) y quizás te ayude más
Hola Alejandro, muchas gracias por tu explicación, entendí el proceso. Mi ultima pregunta y ya no te molesto más ¿el ultimo Y(s) es el resultado final?, ya que me di cuenta que el enunciado dice: "aplica transformada de Laplace para hallar: y(t)".
Si. En la penúltima línea apliqué las transformadas inversas y quedaría y(t) en la última línea, no y(s)
