Resuelva lo siguiente mediante la ecuación diferencial de Cauchy – Euler

Sea

$$\begin{align}&x=e^t\end{align}$$

entonces

$$\begin{align}&\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}\\&\\&\boxed{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}y_t}\\&\\&\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}y_t\right)=-\dfrac{1}{x^2}y_t+\dfrac{1}{x}\dfrac{d}{dx}y_t\\&\\&\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{1}{x^2}y_t+\dfrac{1}{x}\dfrac{d}{dt}(y_t)\cdot \dfrac{dt}{dx}\\&\\&\boxed{\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{1}{x^2}y_t+\dfrac{1}{x^2}y_{tt}}\end{align}$$

reemplazamos en la ecuación original

$$\begin{align}&x^2 \left( \dfrac{1}{x^2} y_{tt}-\dfrac{1}{x^2}y_{t} \right)+5x\left(\dfrac{1}{x}y_t\right)+4y=0\\&\\&(y_{tt}-y_t)+5y_t+4y=0\\&\\&y_{tt}+4y_t+4y=0\\&\\&y=C_1e^{-2t}+C_2te^{-2t}\\&\\&\text{devolviendo variable}\\&\\&\boxed{y=\dfrac{C_1}{x^2}+\dfrac{C_2\ln x}{x^2}}\end{align}$$

La solucion debe ser de la forma y=x^n

y'=nx^(n-1)

y"=n(n-1)x^(n-2) Sustituimos eso en la ec

$$\begin{align}&x^2n(n-1)x^{n-2}+5xnx^{n-1}+4x^n=0\\&(n^2-n)x^n+5nx^n+4x^n=0\\&(n^2-n+5n+4)x^n=0\\&(n^2+4n+4)x^n=0\\&(n+2)^2x^n=0\\&\end{align}$$

En este tipo de ecuaciones se asume que x no es cero, la unica manera entonces que esto sea cero es que n=-2

Como el valor de la n se repite dos veces, la solucion es de la forma

x^-2(C1+C2lnx)