Cómo obtener el valor de 'x' en la siguiente ecuación? (72^x)+(7^x)=80
Se puede calcular con métodos numéricos pero, ¿cómo se puede resolver algebraicamente?.
Sé que la solución no sale en Google y que son aproximadamente 18 pasos y el récord es en 4 pasos!
Como bien decís, este tipo de ejercicios se suelen resolver por métodos numéricos, uno de ellos es el método de Newton-Raphson el cual para calcularlo necesitas tener la función y la derivada, en este caso sería:
$$\begin{align}&f(x) = 72^x+7^x-80\\&f'(x) = 72^x \cdot ln(72)+7^x\cdot ln(7)\\&\text{Y la expresión recursiva es:}\\&x_{n+1} = x_n - \frac{f(x)}{f'x}\end{align}$$Si vemos la función vemos que para x=1 el resultado es -1, pero para x=2 ya se pasa "muchísimo", así que voy a plantear la expresión y tomaré como valor inicial, justamente x=1
Te dejo las iteraciones del método, calculadas en excel donde efectivamente se obtuvo en cuatro pasos (en realidad fueron 3, pero el cuarto es necesario para confirmar el resultado)
1 respuesta más de otro experto
Así como está escrito no tiene resolución aritmética hasta donde da mi entendimiento. Si embargo, creo que podría tratarse de:
7^(2x) + 7^x = 80; si así fuera:
CDV; u=7^x;
u^2 + u - 80 = 0; Baskara:
[-1+-√(1+80)] / 2;
(-1+-9) / 2; u= (-5); o: u=4; Devuelvo variable:
a) (-5)= 7^x;
ln(-5) = x*ln7;
x= ln(-5)/ln7; Sólo tiene resolución en los Complejos:
x= (ln5 + πi) / ln7
b) 4 = 7^x;
ln4 = x*ln7;
x= ln4/ln7.
Corregido quedaría:
[-1+-√(1+320)] / 2;
(-1+-√321) / 2; Devuelvo variable:
a) (-1-√321)/2= 7^x;
ln[(-1-√321)/2] = x*ln7;
x= ln[(-1-√321)/2] /ln7; Sólo tiene resolución en los Complejos:
x= {ln[(-1-√321)/2] + πi) } / ln7
b) (-1+√321)/2 = 7^x;
ln[(-1+√321)/2] = x*ln7;
x= ln[(-1+√321)/2] / ln7.
Gracias a Gustavo por corregir mi error.